Đến nội dung

Hình ảnh

\[ \sqrt{2}\sqrt{k+a^2}\le \frac{k+a^2}{2n}+n\le \frac{k+a^2}{2}+1 \]

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết

Cho $a\in \mathbb{Z}, n,k\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $k\equiv -a^2\mod 2n$. Chứng minh rằng: 

\[ \sqrt{2}\sqrt{k+a^2}\le \frac{k+a^2}{2n}+n\le \frac{k+a^2}{2}+1 \]



#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho $a\in \mathbb{Z}, n,k\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $k\equiv -a^2\mod 2n$. Chứng minh rằng: 

\[ \sqrt{2}\sqrt{k+a^2}\le \frac{k+a^2}{2n}+n\le \frac{k+a^2}{2}+1 \]

Có phải chỉ ra dấu "=" không thế.Nếu k thì hình như hơi dễ ^^



#3
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết

có cần chỉ điều kiện xảy ra đẳng thức ạ :)



#4
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết


Cho $a\in \mathbb{Z}, n,k\in\mathbb{N}$ thỏa mãn $k\equiv -a^2\mod 2n$. Chứng minh rằng: 

\[ \sqrt{2}\sqrt{k+a^2}\le \frac{k+a^2}{2n}+n\le \frac{k+a^2}{2}+1 \]

Với vế trái,Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi ta có ngay:

 

$\frac{k+a^{2}}{2n}+n\geq 2\sqrt{\frac{k+a^{2}}{2}}=\sqrt{2(k+a^{2})}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $k+a^{2}=2n^{2}$.

 

Vế phải chuyển vế và biến đổi tương đương ta có

 

$(n-1)(\frac{k+a^{2}}{2n}-1)\geq 0$,hiển nhiên đúng vì $n\geq 1,\frac{k+a^{2}}{2n}\geq 1$

 

Đẳng thức xảy ra khi $n=1$ hoặc $k+a^{2}=2n$.Done.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 01-05-2013 - 06:40





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh