Chủ đề này có 4 trả lời

[damthungtuong]

Chứng minh Z[x]/(x^2 + 2) với Z[x] là vành đa thức trên vành số nguyên Z

 

 

Mọi người giúp mình chứng minh bài này với. Xin cảm ơn!

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-05-2013 - 21:57

[1110004]

Đọc cái đề mà không hiểu bạn muốn hỏi cái gì luôn làm sao giải????

[KhuongHoangTuong]

ý bạn là tìm cấu trúc  của Vành thương $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+2)$

 

Đầu tiên ta định nghĩa phép toán trên $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+2)$ như sau:

cho $f(x) \epsilon \mathbb{Z}[x]$ dùng thuật chia Euclide ta được

$f(x)=g(x)(x^2+2)+ax+b$

$\Rightarrow \overline{f(x)}=ax+b$

với $\overline{f(x)}=ax+b;\overline{g(x)}=cx+d$ ,ta có:

$\overline{f(x)g(x)}=(ad+bc)x+bd-2ac$

Với phép toán được định nghĩa như trên ta xây dựng một đẳng cấu vành như sau:

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+2)\overset{\varphi }{\rightarrow} Im\varphi$

               $ax+b \rightarrow ai\sqrt{2}+b$

Dễ dàng kiểm tra $\varphi$ là một đòng cấu vành, hơn nữa rõ ràng $\varphi$ là một song ánh 

Từ đó ta suy ra $\varphi$ là một đẳng cấu vành và

$Im\varphi =\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

 

Vì vậy $\mathbb{Z}[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

 

Ngoài ra bạng cũng có thể xây dựng một đồng cấu vành $\varphi$

$\mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

         $f(x)\rightarrow f(i\sqrt{2})$

khi đó $ker(\varphi )=(x^2+2), im(\varphi )=\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

sử dụng định lý đẳng cấu vành ta thu được kết quả tương tự

(Nếu mình làm sai chỉ mình với nhé  )

[damthungtuong]

Cảm ơn bạn nhiều. Cách làm rất cụ thể.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi damthungtuong: 21-05-2013 - 21:11

[damthungtuong]

Đọc cái đề mà không hiểu bạn muốn hỏi cái gì luôn làm sao giải?

 

Thực ra đề bài là chứng minh Z[x]/(x^2+2) là vành chính. Sau đó anh ĐHV sửa lại mới thành ra như thế.