Đến nội dung

Hình ảnh

CM:$\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=1;HE + HK = 2AM$ và $\frac{EA}{AB}+\frac{AF}{AC}\ge \frac{4}{3}$.

toán hình 8

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
chodoi2g

chodoi2g

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

[SIZE="3"]Cho tam giác ABC.trung tuyến AM .G là trọng tâm của tam giác ABC. qua G kẻ đường thẳng cắt AB và AC tại E và F . Qua E ké đường thẳng song song với AM cắt BC tại H và AC tại K

cm) a: $\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=1$
b) $HE + HK = 2AM$
c) $\frac{EA}{AB}+\frac{AF}{AC}\ge  \frac{4}{3}$.
 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-05-2013 - 09:05


#2
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Cho tam giác ABC.trung tuyến AM .G là trọng tâm của tam giác ABC. qua G kẻ đường thẳng cắt AB và AC tại E và F . Qua E ké đường thẳng song song với AM cắt BC tại H và AC tại K

cm) a: $\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=1$
b) $HE + HK = 2AM$
c) $\frac{EA}{AB}+\frac{AF}{AC}\ge  \frac{4}{3}$.
 

770346264_2087566773_574_574.jpg

a)$\centerdot$ Từ $B,C$ vẽ các đường thẳng song song với $EF$ và cắt lần lượt tại $C',B'$(do mình vẽ hình không tương ứng :D ).

$\centerdot$  Theo định lí Thalet,ta có:

$\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{C'G}{AG}$.

$\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{B'G}{AG}$.

$\Longrightarrow \dfrac{EB}{EA}+\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{B'G+C'G}{AG}$

$\centerdot$ Bây giờ ta sẽ chứng minh $B'G+C'G=AG$,nhưng ta có:

$B'G+C'G=BG'+AM+MC'$

$\centerdot$ Dễ thấy $\Delta{BB'M}=\Delta{CC'M}$

$\Longrightarrow B'M=MC'$

$\Longrightarrow B'G+C'G=2AM=AG$ (do $G$ là trọng tâm của $\Delta{ABC}$)

$\Longrightarrow \dfrac{EB}{EA}+\dfrac{FC}{FA}=1$

b)770352134_112078322_574_574.jpg

$\centerdot$ Theo Thalet,ta có:

$\dfrac{EH}{AM}=\dfrac{BH}{BM}$

$\dfrac{KH}{AM}=\dfrac{HC}{MC}=\dfrac{HC}{MB}$

$\Longrightarrow \dfrac{EH+KH}{AM}=\dfrac{BH+HC}{MB}=2$

$\Longrightarrow EH+KH=2AM$

c)$\centerdot$ Bạn làm tương tự câu a) thì ta cũng sẽ có:

$\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AC}{AF}=3$.

$\centerdot$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:

$(\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AC}{AF})(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge 4$

$\Longleftrightarrow 3(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge 4$

$\Longrightarrow (\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge \dfrac{4}{3}$


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Mở rộng 1. (Virgil Nicula) Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. $M$ là giao điểm của $AP$ và $BC$ và $\frac{MB}{MC}= \dfrac xy$. Một đường thẳng $d$ qua $P$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Từ $E$ kẻ đường song song với $AM$ cắt $BC,AC$ lần lượt tại $H,K$.

Chứng minh rằng $$\left\{\begin{array}{cc} 1\blacktriangleright & x\cdot HE+y\cdot HK=(x+y)\cdot AM\\ \\ 2\blacktriangleright & x\cdot \frac{AE}{AB}+y\cdot \frac{AF}{AC} \ge \frac {4xy}{x+y}\cdot\frac {AP}{AM}\end{array}\right\|$$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán hình 8

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh