Cho tam giác ABC.trung tuyến AM .G là trọng tâm của tam giác ABC. qua G kẻ đường thẳng cắt AB và AC tại E và F . Qua E ké đường thẳng song song với AM cắt BC tại H và AC tại K
cm) a: $\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=1$
b) $HE + HK = 2AM$
c) $\frac{EA}{AB}+\frac{AF}{AC}\ge \frac{4}{3}$.
a)$\centerdot$ Từ $B,C$ vẽ các đường thẳng song song với $EF$ và cắt lần lượt tại $C',B'$(do mình vẽ hình không tương ứng ).
$\centerdot$ Theo định lí Thalet,ta có:
$\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{C'G}{AG}$.
$\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{B'G}{AG}$.
$\Longrightarrow \dfrac{EB}{EA}+\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{B'G+C'G}{AG}$
$\centerdot$ Bây giờ ta sẽ chứng minh $B'G+C'G=AG$,nhưng ta có:
$B'G+C'G=BG'+AM+MC'$
$\centerdot$ Dễ thấy $\Delta{BB'M}=\Delta{CC'M}$
$\Longrightarrow B'M=MC'$
$\Longrightarrow B'G+C'G=2AM=AG$ (do $G$ là trọng tâm của $\Delta{ABC}$)
$\Longrightarrow \dfrac{EB}{EA}+\dfrac{FC}{FA}=1$
b)
$\centerdot$ Theo Thalet,ta có:
$\dfrac{EH}{AM}=\dfrac{BH}{BM}$
$\dfrac{KH}{AM}=\dfrac{HC}{MC}=\dfrac{HC}{MB}$
$\Longrightarrow \dfrac{EH+KH}{AM}=\dfrac{BH+HC}{MB}=2$
$\Longrightarrow EH+KH=2AM$
c)$\centerdot$ Bạn làm tương tự câu a) thì ta cũng sẽ có:
$\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AC}{AF}=3$.
$\centerdot$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
$(\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AC}{AF})(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge 4$
$\Longleftrightarrow 3(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge 4$
$\Longrightarrow (\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}) \ge \dfrac{4}{3}$