Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Chứng minh đẳng thức sau:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16^{k}}{k^3\binom{2k}{k}^2}=8\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2}-14\zeta (3)$$

 

 

Với $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2}=C$ là hằng số Catalan và $\zeta (3)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3}$ là hàm Rierman zeta 3.

 

Spoiler

Bài này dựa 1 phần trên hàm sinh lượng giác...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-05-2013 - 08:51

[nthoangcute]

Tổng quát: (Theo wolframalpha)

Chứng minh: $$\sum^n_{k=1} \dfrac{16^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2}=\pi \left( G^{4,1}_{4,4}\left(\left.{}^{1,\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2},3}_{2,2,2,1} \right|-1 \right) -G^{4,1}_{4,4}\left(\left.{}^{1,n+2,n+\dfrac{3}{2},n+\dfrac{3}{2}}_{1,n+1,n+1,n+1} \right|-1 \right) \right)+4$$

 

Với $G$ là hàm Meijer

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 03-05-2013 - 12:32