bài 1: cho $x_{n}=(\sqrt{3}+1)^{n}+(1-\sqrt{3})^n$ $n\in N$
a) Tìm n sao cho$x_{n}$ là số nguyên dương chẵn
b) Tìm k nguyên dương lớn nhất sao cho $x_{2013}\vdots 2^{k}$
Đề của bạn sai rồi, mình đã sửa lại như trên
_____________________________
Bài giải:
$a.$Đặt $a=\sqrt{3}+1, b=1-\sqrt{3}$
Từ đó dễ dàng suy ra được $a,b$ là nghiệm của phương trình: $x^2-2x-2=0(1)$
Ta chứng minh rằng: $x_n$ là số nguyên dương với mọi $n\in \mathbb{N}$ bằng phương pháp qui nạp
Với $n=0$, rõ ràng khẳng định trên đúng
Giả sử khẳng định trên đúng với $n=k+1$
Ta cần chứng khẳng định đúng với $n=k+2$
Ta có: $$x_{k+2}=a^{k+2}+b^{k+2}=a^k.a^2+b^k.b^2$$
$$=a^k(2a+2)+b^k(2b+2)=2(x_{k+1}+x_k)$$
Theo giả thiết qui nạp, ta có $x_{k+1}+x_k\in \mathbb{N^*}$ nên ta suy ra $x_{k+2}\in \mathbb{N^*}$
Từ đó, theo nguyên lí qui nạp ta có khẳng định trên đúng với mọi $n\in \mathbb{N}$
Và cũng từ cách chứng minh ở trên, ta dễ dàng suy ra được: $x_n$ là số nguyên dương chẵn với mọi $n\in \mathbb{N}$
$b.$ Với $n$ lẻ, ta có: $$x_{n+2}=2(x_{n+1}+x_n)=2^2(x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n-1}+x_n)$$
$$=...=2^{\frac{n+3}{2}}(1+S)\vdots 2^{\frac{n+3}{2}}(2)$$
(Vì $S\vdots 2$)
Thay $n=2011$ vào $(2)$, ta được: $x_{2013}\vdots 2^{1008}$
Hay giá trị lớn nhất của $k$ là $1008$
___________________
Bài 3: Tương tự Bài 1
Bài 2: Chưa biết làm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 14-09-2013 - 23:02