Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Cho $a \geq b \geq c >0$ và $abc=1$

Tìm Min của $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{(1+b)^2}+\frac{3}{(1+c)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 09-05-2013 - 23:50

[hoangkkk]

Cho $a \geq b \geq c >0$ và $abc=1$

Tìm Min của $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{(1+b)^2}+\frac{3}{(1+c)^2}$

 

Làm thế này không biết có sai sót chỗ nào không.

Từ giả thiết $a \geq b \geq c$ suy ra : $\frac{1}{\left ( a+1 \right )^2} \leq \frac{1}{\left ( b+1 \right )^2} \leq \frac{1}{\left ( c+1 \right )^2}$.

 

Như vậy ta thu được $\left (1;2;3  \right )$ và $\left (\frac{1}{\left ( a+1 \right )^2} ; \frac{1}{\left ( b+1 \right )^2} ;\frac{1}{\left ( c+1 \right )^2}\right )$ là hai bộ đơn điệu cùng chiều.

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev :

$$P \geq \frac{1}{3}\left ( 1+2+3 \right )\left ( \sum \frac{1}{\left ( a+1 \right )^2} \right )=2\left ( \sum \frac{1}{\left ( a+1 \right )^2} \right )$$

Do $abc=1$ và $a,b,c >0$ nên tồn tại các số thực dương $x,y,z$ sao cho $a=\frac{xy}{z^2}$, $b=\frac{zx}{y^2}$, $c=\frac{yz}{x^2}$

 

Thay vào bất đẳng thức vừa thu được ở trên :

$$P \geq 2\left [ \frac{x^4}{\left ( yz+x^2 \right )^2}+\frac{y^4}{\left ( zx+y^2 \right )^2} +\frac{z^4}{\left ( xy+z^2 \right )^2}  \right ]$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$$\sum \frac{x^4}{\left ( yz+x^2 \right )^2} \geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$$

Sử dụng đánh giá cơ bản : $xy+yz+zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ ta suy ra :

$$\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2} \geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$$

Hay $P \geq 2.\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

 

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$. Đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=1$.