Chủ đề này có 2 trả lời

[arsenal20101998]

Cho a;b;c > 0 ; abc=1

Tim max S=$\sum \frac{a}{a^2+b^2+c}$

[Christian Goldbach]

Ở đây http://diendantoanho...c2a2fraccca2b2/

[25 minutes]

Cho a;b;c > 0 ; abc=1

Tim max S=$\sum \frac{a}{a^2+b^2+c}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

                    $(a+b+c)^2 \leq (a^2+b^2+c)(1+1+c)\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c} \leq \frac{2+c}{(a+b+c)^2}$

Tương tự 2 bđt còn lại ta có ngay 

                   $\sum \frac{1}{a^2+b^2+c} \leq \sum \frac{2+c}{(a+b+c)^2}=\frac{6+a+b+c}{(a+b+c)^2}$

Dự đoán Max là 1 khi $a=b=c=1$ nên ta sẽ chứng minh 

                    $\frac{6+a+b+c}{(a+b+c)^2}\leq 1\Leftrightarrow 6+a+b+c \leq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$

Dễ thấy $a^2+1 \geq 2a\Rightarrow \sum a^2 \geq 2(a+b+c)-3 \geq a+b+c$ do $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$        (1)

Lại có theo AM-GM ta có $ab+bc+ac \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3\Rightarrow 2(ab+bc+ac) \geq 6$                               (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$