Chủ đề này có 8 trả lời

[etucgnaohtn]

Trong chương trình lớp 9 , các kì thi vào 10 hay thi HSG toán 9 thường có những bài toán về khai triển căn bậc 3 dạng $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$ trong đó a,b nguyên cho trước (b$\geq$0). Cuối cùng sẽ phân tích biểu thức trong căn về căn bậc 3 dạng ($c+\sqrt{d}$)$^3$ để khai căn bậc 3 ( c,d nguyên chưa biết , d>0 )

Vậy ta sẽ tìm c,d = CASIO:

Giả sử $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$

Mặt khác $\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$\sqrt[3]{c^3+3cd+(3c^2+d)\sqrt{d}}$

Do c,d nguyên nên $c^3+3cd$ nguyên

Vậy phải tìm c,d tm hệ $\left\{\begin{matrix}c^3+3cd=a & \\ c+\sqrt{d}= \sqrt[3]{a+\sqrt{b}}{}{}& \end{matrix}\right.$

Tức là phải giải phương trình : $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$

Vậy là quy về phương trình 1 ẩn c vì a,b biết trước rồi

Bấm biểu thức trên vào máy tính casio, giải ra được c

Tìm d bằng cách bấm $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c=$ , được $\sqrt{d}$ .

Bấm Ans$^{2}$ ta được d . 

Nói chung là chỉ cần nhớ cái pt cuối cùng là được . Cái này chỉ áp dụng cho những căn bậc 3 mà bản thân nó có thể viết được thôi .

Còn về căn bậc 2 ta cũng có thể làm kiểu này , nhưng dễ dàng hơn nhiều . Các bạn thử xem !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 11-05-2013 - 19:46

[nthoangcute]

Cách này không ấn tượng lắm, yêu cầu người ta phải nhớ công thức ...

Thường thì các công thức khá là khó nhớ ...

________________________________________

Cách khác: Dùng CASIO

Giả sử cần rút gọn: $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Gán $A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=4,4494...$

Gán $B=\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}=-0,4494...$

Viết lên máy fx 570 ES như sau:

$$\frac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Ta được kết quả $2+\sqrt{6}$

Vậy $A=2+\sqrt{6}$

_________________________________________

VD khác: Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{1801}{8}+\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

$A:=\sqrt[3]{\frac{1801}{8}+\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

$B:=\sqrt[3]{\frac{1801}{8}-\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

Ấn : $$\frac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Ta được $A=\frac{1+10\sqrt{6}}{2}$

[Juliel]

Trong chương trình lớp 9 , các kì thi vào 10 hay thi HSG toán 9 thường có những bài toán về khai triển căn bậc 3 dạng $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$ trong đó a,b nguyên cho trước (b$\geq$0). Cuối cùng sẽ phân tích biểu thức trong căn về căn bậc 3 dạng ($c+\sqrt{d}$)$^3$ để khai căn bậc 3 ( c,d nguyên chưa biết , d>0 )

Vậy ta sẽ tìm c,d = CASIO:

Giả sử $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$

Mặt khác $\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$\sqrt[3]{c^3+3cd+(3c^2+d)\sqrt{d}}$

Do c,d nguyên nên $c^3+3cd$ nguyên

Vậy phải tìm c,d tm hệ $\left\{\begin{matrix}c^3+3cd=a & \\ c+\sqrt{d}= \sqrt[3]{a+\sqrt{b}}{}{}& \end{matrix}\right.$

Tức là phải giải phương trình : $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$

Vậy là quy về phương trình 1 ẩn c vì a,b biết trước rồi

Bấm biểu thức trên vào máy tính casio, giải ra được c

Tìm d bằng cách bấm $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c=$ , được $\sqrt{d}$ .

Bấm Ans$^{2}$ ta được d . 

Nói chung là chỉ cần nhớ cái pt cuối cùng là được . Cái này chỉ áp dụng cho những căn bậc 3 mà bản thân nó có thể viết được thôi .

Còn về căn bậc 2 ta cũng có thể làm kiểu này , nhưng dễ dàng hơn nhiều . Các bạn thử xem !

Thế này nhé ! Mình có một cách không khoa học nhưng hiệu quả, bạn tham khảo :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$

Ta cứ lấy giá trị sau :

$18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow $a=\sqrt{6};b=2$

Suy ra $A=2+\sqrt{6}$

 

Với trường hợp ta làm như trên mà không tìm được a;b "đẹp" thì có thể nhân 2, nhân 3 vào biểu thức A

 

Thi MTCT tỉnh Đồng Nai năm nay cũng có một câu thế này, nhờ cách này mà mình làm được đấy !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-07-2013 - 11:42

[nthoangcute]

Thế này nhé ! Mình có một cách không khoa học nhưng hiệu quả, bạn tham khảo :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$

Ta cứ lấy giá trị sau :

$18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow $a=\sqrt{6};b=2$

Suy ra $A=2+\sqrt{6}$

 

Với trường hợp ta làm như trên mà không tìm được a;b "đẹp" thì có thể nhân 2, nhân 3 vào biểu thức A

 

Thi MTCT tỉnh Đồng Nai năm nay cũng có một câu thế này, nhờ cách này mà mình làm được đấy !

 

Cách của em vẫn không hiệu quả ... Giả sử tổng quát lên: $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}$ thì những cách trên không ăn được

Các em nên nhớ cái đẳng thức sau:

Nếu rút gọn $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}=m+\sqrt{n}$ thì $B=\sqrt[n]{a-\sqrt{b}}=m-\sqrt{n}$

Từ đó mới sinh ra công thức:

$$A=\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Vì thế nên những bài tìm nghiệm PT vô tỷ bậc 4, được 2 nghiệm là $A$ và $B$

Nếu $A+B \in Q$ thì chỉ cần ấn trên fx-570ES là màn hình hiện ra kết quả của A:

$$\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Và của $B$ là:

$$\dfrac{A+B-\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

_______________________

Do đó các bạn không cần phải ấn $A+B$ và ấn $AB$ để tìm được tích và tổng ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 27-05-2013 - 11:20

[Juliel]

 

Cách của em vẫn không hiệu quả ... Giả sử tổng quát lên: $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}$ thì những cách trên không ăn được

Các em nên nhớ cái đẳng thức sau:

Nếu rút gọn $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}=m+\sqrt{n}$ thì $B=\sqrt[n]{a-\sqrt{b}}=m-\sqrt{n}$

Từ đó mới sinh ra công thức:

$$A=\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Vì thế nên những bài tìm nghiệm PT vô tỷ bậc 4, được 2 nghiệm là $A$ và $B$

Nếu $A+B \in Q$ thì chỉ cần ấn trên fx-570ES là màn hình hiện ra kết quả của A:

$$\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Và của $B$ là:

$$\dfrac{A+B-\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

_______________________

Do đó các bạn không cần phải ấn $A+B$ và ấn $AB$ để tìm được tích và tổng ...

 

Em chẳng biết nữa mà thầy em chỉ như thế. Cách đó dùng được cho căn bậc ba thôi !

[etucgnaohtn]

 

Cách của em vẫn không hiệu quả ... Giả sử tổng quát lên: $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}$ thì những cách trên không ăn được

Các em nên nhớ cái đẳng thức sau:

Nếu rút gọn $A=\sqrt[n]{a+\sqrt{b}}=m+\sqrt{n}$ thì $B=\sqrt[n]{a-\sqrt{b}}=m-\sqrt{n}$

Từ đó mới sinh ra công thức:$f(x)=m+\sqrt{n}$

$$A=\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Vì thế nên những bài tìm nghiệm PT vô tỷ bậc 4, được 2 nghiệm là $A$ và $B$

Nếu $A+B \in Q$ thì chỉ cần ấn trên fx-570ES là màn hình hiện ra kết quả của A:

$$\dfrac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Và của $B$ là:

$$\dfrac{A+B-\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

_______________________

Do đó các bạn không cần phải ấn $A+B$ và ấn $AB$ để tìm được tích và tổng ...

 

Em không chắc cái dưới này có đúng không ... 

Nếu $f(x)=m+k\sqrt{n}$ với $x=a+b\sqrt{n}$

thì $f(y)=m-k\sqrt{n}$ với  $y=a-b\sqrt{n}$

____________________________________

VD : Tính $\sqrt[3]{x(1+3x-3x^2)}$ tại  $x=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}$

      Giải phương trình $7x^{2}-13x+8= 2x^{2}\sqrt[3]{x(1+3x-3x^{2})}$  

Gán $X=\frac{-5+\sqrt{89}}{4}=1,1084...$
Gán $Y=\frac{-5-\sqrt{89}}{4}=-3,6084...$
Gán $A=\sqrt[3]{X(1+3X-3X^2)}$  
Gán $B=\sqrt[3]{Y(1+3Y-3Y^2)}$

Ấn : $\frac{\sqrt{(A+B)^2}+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$ 
Ta được : $B=\frac{13+\sqrt{89}}{4}$ $\Rightarrow A=\frac{13-\sqrt{89}}{4}$ 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 13-12-2013 - 02:23

[DISNEY JUNIOR]

già sử $\sqrt{a+b}$ có thể đưa dc về dạng $\sqrt{(c+d)^{2}}$ thì dùng cách máy cách nek dc   
còn trường hợp $\sqrt{a+b+c+d}$ có thể đưa dc về dạng $\sqrt{(e+f+g)^{2}}$ thì pải làm sao, dùng máy cách nek dc hok??

[etucgnaohtn]

già sử $\sqrt{a+b}$ có thể đưa dc về dạng $\sqrt{(c+d)^{2}}$ thì dùng cách máy cách nek dc   
còn trường hợp $\sqrt{a+b+c+d}$ có thể đưa dc về dạng $\sqrt{(e+f+g)^{2}}$ thì pải làm sao, dùng máy cách nek dc hok??

Bạn thử lấy 1 ví dụ đi

[IWLina]

 

Cách này không ấn tượng lắm, yêu cầu người ta phải nhớ công thức ...

Thường thì các công thức khá là khó nhớ ...

________________________________________

Cách khác: Dùng CASIO

Giả sử cần rút gọn: $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Gán $A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=4,4494...$

Gán $B=\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}=-0,4494...$

Viết lên máy fx 570 ES như sau:

$$\frac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Ta được kết quả $2+\sqrt{6}$

Vậy $A=2+\sqrt{6}$

_________________________________________

VD khác: Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{1801}{8}+\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

$A:=\sqrt[3]{\frac{1801}{8}+\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

$B:=\sqrt[3]{\frac{1801}{8}-\frac{3015}{4}\sqrt{6}}$

Ấn : $$\frac{A+B+\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$

Ta được $A=\frac{1+10\sqrt{6}}{2}$

 

Nhưng mà cho em hỏi, sử dụng máy tính tính biểu thức đó ra số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì làm thế nào để chuyển kết quả sang biểu thức chứa căn ?