Đến nội dung

Hình ảnh

$P=2x^3+y^3+z^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 1 : Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực không âm thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=2x^3+y^3+z^3$$

(Đề khảo sát chất lượng lớp $12$, lần $3$, năm $2013$ của trường chuyên Đại Học Vinh)

 

Bài 2 : Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$$

(Đề thi thử Đại học lần $2$, năm $2013$ của trường chuyên Phan Bội Châu)


A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

 

 

Bài 2 : Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$$

(Đề thi thử Đại học lần $2$, năm $2013$ của trường chuyên Phan Bội Châu)

Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-1$

Do đó $P=(a+b+c)(ab+bc+ac)-1+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

     $\Rightarrow P+1=(a+b+c)(ab+bc+ac)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Áp dụng AM-GM ta có

        $(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ac \geq \sqrt{3(a+b+c)}$

Vậy $P+1 \geq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Đặt $t=a+b+c\Rightarrow t \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

 $\Rightarrow P+1 \geq f(t)=t\sqrt{3t}+\frac{72}{\sqrt{t+1}}, t \geq 3$

 $\Rightarrow f'(t)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{t}-\frac{36}{\sqrt{(t+1)^3}}=0\Leftrightarrow t=3$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta thấy $f(t)$ đồng biến trên $\left [ 3,+\infty \right )$

  $\Rightarrow f(t) \geq f(3)=45$

  $\Rightarrow P \geq 44$

Dấu = xẩy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

GS $y\leq z$ suy ra $y\leq \frac{3}{2}$ $2x^{3}+30\leq 30\sqrt{1+x^{2}} do x\leq \sqrt{8}$ và $y^{3}+30\leq 30\sqrt{1+2y}$ và $z^{3}+26\leq 30\sqrt{1+2z} z\leq 4$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh