Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 15-05-2013 - 13:32

BT1: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, liên tục tại $0$ thỏa :

 

$f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2$, trong đó $0< a< 1$ .

 

Bài giải :

 

Cách 1: ( Idie9xx)

 

Đặt $g(x)=f(x)-f(ax)$ ta có $g(0)=0$ và cũng liên tục tai $0$
Ta có $g(x)-g(ax)=x^2$
Thay lần lượt $x$ bằng $ax,a^2x,...,a^nx$ sao cho $n \rightarrow +\infty$ do $0<a<1$ khi đó $a^{n+1}x \rightarrow 0$ hay $g(a^{n+1}x)=g(0)=0$ rồi ta cộng các phương trình lại với nhau được:
$(g(x)-g(ax))+(g(ax)-g(a^2))+...+(g(a^nx)-g(a^{n+1}x))=x^2+a^2x^2+a^4x^2+...+a^{2n}x^2$
$\Rightarrow g(x)-g(a^{n+1}x)=x^2(\dfrac{1-a^{2n+2}}{1-a^2})$
$\Rightarrow g(x)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$
Vậy sẽ có $f(x)-f(ax)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$
Cũng tương tự như trên thu được : $f(x)-f(0)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}$
Vậy ta có hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}+c$ với $c=f(0)=const$

 

Cách 2 :( của mình )

 

Thay $x$ bởi $ax$ $n-2$ lần ta có:

$f(ax)-2f(a^2x)+f(a^3x)=a^2x^2$

$f(a^2x)-2f(a^3x)+f(a^4x)=a^4x^2$

.................

$f(a^{n-1}x)-2f(a^{n}x)+f(a^{n+1}x)=a^{2n-2}x^2$

Cộng biểu thức ban đầu và $n-2$biểu thức trên ta có :$f(x)-f(ax)-f(a^nx)+f(a^{n+1}x)=\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}x^2$

Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)-f(ax)-f(0)+f(0)=\frac{x^2}{1-a^2}$

<=>$f(x)=f(ax)-\frac{x^2}{1-a^2}$ (1)

Tiếp tục thay $x$ bởi $ax$ $n-1$ lần ta có:

$f(ax)=f(a^2x)-\frac{a^2x^2}{1-a^2}$ (2)

$f(a^2x)=f(a^3x)-\frac{a^4x^2}{1-a^2}$ (3)

..............

$f(a^{n-1}x)=f(a^nx)-\frac{a^{2n-2}x^2}{1-a^2}$ (n)

Cộng $(1)$, $(2)$,..,$(n)$ ta có :

$f(x)=f(a^nx)+\frac{x^2}{1-a^2}.\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}$

Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$

Thử lại thỏa :

Vậy $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

 

----------------------

 

Ps: Nhìn chung 2 bài này hướng giải giống nhau, nhưng có vẻ bài của mình nhìn dễ chụi hơn :D . Các bạn like bài của Idie9xx ( nếu của mình luôn thì càng tốt :D )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 16-05-2013 - 19:31

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 15-05-2013 - 20:26

BT1: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, liên tục tại $0$ thỏa :

 

$f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2$, trong đó $0< a< 1$ .

Đặt $g(x)=f(x)-f(ax)$ ta có $g(0)=0$ và cũng liên tục tai $0$

Ta có $g(x)-g(ax)=x^2$

Thay lần lượt $x$ bằng $ax,a^2x,...,a^nx$ sao cho $n \rightarrow +\infty$ do $0<a<1$ khi đó $a^{n+1}x \rightarrow 0$ hay $g(a^{n+1}x)=g(0)=0$ rồi ta cộng các phương trình lại với nhau được:

$(g(x)-g(ax))+(g(ax)-g(a^2))+...+(g(a^nx)-g(a^{n+1}x))=x^2+a^2x^2+a^4x^2+...+a^{2n}x^2$

$\Rightarrow g(x)-g(a^{n+1}x)=x^2(\dfrac{1-a^{2n+2}}{1-a^2})$

$\Rightarrow g(x)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$

Vậy sẽ có $f(x)-f(ax)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$

Cũng tương tự như trên thu được : $f(x)-f(0)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}$

Vậy ta có hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}+c$ với $c=f(0)=const$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 16-05-2013 - 05:54

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 19:27

Bài này ta chẳng cần đặt hàm mới như Idie9xx.

 

Thay $x$ bởi $ax$ $n-2$ lần ta có:

 

$f(ax)-2f(a^2x)+f(a^3x)=a^2x^2$

 

$f(a^2x)-2f(a^3x)+f(a^4x)=a^4x^2$

 

.................

 

$f(a^{n-1}x)-2f(a^{n}x)+f(a^{n+1}x)=a^{2n-2}x^2$

 

Cộng biểu thức ban đầu và $n-2$biểu thức trên ta có :$f(x)-f(ax)-f(a^nx)+f(a^{n+1}x)=\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}x^2$

 

Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)-f(ax)-f(0)+f(0)=\frac{x^2}{1-a^2}$

 

<=>$f(x)=f(ax)-\frac{x^2}{1-a^2}$ (1)

 

Tiếp tục thay $x$ bởi $ax$ $n-1$ lần ta có: 

 

$f(ax)=f(a^2x)-\frac{a^2x^2}{1-a^2}$ (2)

 

$f(a^2x)=f(a^3x)-\frac{a^4x^2}{1-a^2}$ (3)

 

..............

 

$f(a^{n-1}x)=f(a^nx)-\frac{a^{2n-2}x^2}{1-a^2}$ (n)

 

Cộng $(1)$, $(2)$,..,$(n)$ ta có :

 

$f(x)=f(a^nx)+\frac{x^2}{1-a^2}.\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}$

 

Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$

 

Thử lại thỏa :

 

Vậy $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh