BT1: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, liên tục tại $0$ thỏa :
$f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2$, trong đó $0< a< 1$ .
Bài giải :
Cách 1: ( Idie9xx)
Đặt $g(x)=f(x)-f(ax)$ ta có $g(0)=0$ và cũng liên tục tai $0$
Ta có $g(x)-g(ax)=x^2$
Thay lần lượt $x$ bằng $ax,a^2x,...,a^nx$ sao cho $n \rightarrow +\infty$ do $0<a<1$ khi đó $a^{n+1}x \rightarrow 0$ hay $g(a^{n+1}x)=g(0)=0$ rồi ta cộng các phương trình lại với nhau được:
$(g(x)-g(ax))+(g(ax)-g(a^2))+...+(g(a^nx)-g(a^{n+1}x))=x^2+a^2x^2+a^4x^2+...+a^{2n}x^2$
$\Rightarrow g(x)-g(a^{n+1}x)=x^2(\dfrac{1-a^{2n+2}}{1-a^2})$
$\Rightarrow g(x)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$
Vậy sẽ có $f(x)-f(ax)=\dfrac{x^2}{1-a^2}$
Cũng tương tự như trên thu được : $f(x)-f(0)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}$
Vậy ta có hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\dfrac{x^2}{(1-a^2)^2}+c$ với $c=f(0)=const$
Cách 2 :( của mình )
Thay $x$ bởi $ax$ $n-2$ lần ta có:
$f(ax)-2f(a^2x)+f(a^3x)=a^2x^2$
$f(a^2x)-2f(a^3x)+f(a^4x)=a^4x^2$
.................
$f(a^{n-1}x)-2f(a^{n}x)+f(a^{n+1}x)=a^{2n-2}x^2$
Cộng biểu thức ban đầu và $n-2$biểu thức trên ta có :$f(x)-f(ax)-f(a^nx)+f(a^{n+1}x)=\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}x^2$
Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)-f(ax)-f(0)+f(0)=\frac{x^2}{1-a^2}$
<=>$f(x)=f(ax)-\frac{x^2}{1-a^2}$ (1)
Tiếp tục thay $x$ bởi $ax$ $n-1$ lần ta có:
$f(ax)=f(a^2x)-\frac{a^2x^2}{1-a^2}$ (2)
$f(a^2x)=f(a^3x)-\frac{a^4x^2}{1-a^2}$ (3)
..............
$f(a^{n-1}x)=f(a^nx)-\frac{a^{2n-2}x^2}{1-a^2}$ (n)
Cộng $(1)$, $(2)$,..,$(n)$ ta có :
$f(x)=f(a^nx)+\frac{x^2}{1-a^2}.\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}$
Cho $n\rightarrow +\infty$ ta có : $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$
Thử lại thỏa :
Vậy $f(x)=\frac{x^2}{(1-a^2)^2}+f(0)$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
----------------------
Ps: Nhìn chung 2 bài này hướng giải giống nhau, nhưng có vẻ bài của mình nhìn dễ chụi hơn 
. Các bạn like bài của Idie9xx ( nếu của mình luôn thì càng tốt )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 16-05-2013 - 19:31
