Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$

- - - - - 100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 16-05-2013 - 07:42

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
 
$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.


Cho $x=0 \to f(f(y))=y$
Suy ra $f(x)$ là một song ánh
Nên tồn tại duy nhất $a : f(a)=0$
Thay $(x;y)=(a;0) \to f(a^2+f(0))=0$
Mà $o=f(f(0)) \to a^2+f(0)=f(0) \to a=0$
Tức là $f(0)=0$
Thay y=0 $\to f(x^2)=xf(x)$
$\to f(x^2)=f(f(x)).f(x)=f(f(x)^2)$
$\to f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi

Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng với mọi x
Giả sử tồn tại $a;b \ne 0$ mà $f(a)=a; f(b)=-b$
Thay vào giả thiết ban đầu ta có:
$f(a^2-b)=a^2+b$
$\to a=0$ hoặc $b=0$
Vô lí
Kết luận $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x \ \forall x \in R$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết


BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.

 

Giải như sau: 

 

Cho $x=0 \to f(f(y))=y \to f(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}$

 

Giả sử tồn tại $x,y$ sao cho $f(x)=f(x)$, suy ra $f(f(x))=f(f(y)) \to x=y$, do đó $f$ là đơn ánh.

 

Cho $x=f(x)$ vào phương trình ban đầu, ta được: \[f((f(x))^2+f(y))=f(x).f(f(x)+y=xf(x)+y\]

Kết hợp với phương trình ban đầu, và $f$ đơn ánh nên: \[f(x)^2=x^2 \to f(x)=x \vee f(x)=-x\]

Rồi tiếp tục như hoangtrunghieu.  $\odot $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 15-05-2013 - 16:26

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#4
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Cho $x=0 \to f(f(y))=y$
Suy ra $f(x)$ là một song ánh

Cái này có thể giải thích rõ được ko? E ko hiểu lắm!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 15-05-2013 - 20:26

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#5
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cái này có thể giải thích rõ được ko? E ko hiểu lắm!!!

 

Đơn giản thế này :

 

Nếu $f(y_1)=f(y_2)$  => $f(f(y_1))=f(f(y_2))$  =>$y_1=y_2$  => đơn ánh.

 

Mà vế trái có tập giá trị trên $\mathbb{R}$ => vế phải cũng có tập giá trị trên $\mathbb{R}$

 

=>$f$ toàn ánh.

 

=> $f$ song ánh .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#6
vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

[Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi]

 

mình ko hiểu chỗ này. đúng với x là đc rồi còn gì mà ko đúng với mọi cái gì


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#7
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

[Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi]

 

mình ko hiểu chỗ này. đúng với x là đc rồi còn gì mà ko đúng với mọi cái gì

 

Ý của Hiếu muốn nói là sẽ tồn tại $x_1,x_2$ sao cho $f(x_1)=x_1, f(x_2)=-x_2$. Nhưng đề là tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ nên phải cần chứng minh là không tồn tại hai số $x_1,x_2$ đó => $f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)=-x , \forall x\in \mathbb{R}$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8
Gianghg8910

Gianghg8910

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Các bạn có thể giúp mình nói về phương pháp giải dạng này không minh cảm ơn







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh