Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 15-05-2013 - 13:47

BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 16-05-2013 - 07:42

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 15-05-2013 - 14:50

BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
 
$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.


Cho $x=0 \to f(f(y))=y$
Suy ra $f(x)$ là một song ánh
Nên tồn tại duy nhất $a : f(a)=0$
Thay $(x;y)=(a;0) \to f(a^2+f(0))=0$
Mà $o=f(f(0)) \to a^2+f(0)=f(0) \to a=0$
Tức là $f(0)=0$
Thay y=0 $\to f(x^2)=xf(x)$
$\to f(x^2)=f(f(x)).f(x)=f(f(x)^2)$
$\to f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi

Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng với mọi x
Giả sử tồn tại $a;b \ne 0$ mà $f(a)=a; f(b)=-b$
Thay vào giả thiết ban đầu ta có:
$f(a^2-b)=a^2+b$
$\to a=0$ hoặc $b=0$
Vô lí
Kết luận $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x \ \forall x \in R$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 15-05-2013 - 15:51



BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

 

$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.

 

Giải như sau: 

 

Cho $x=0 \to f(f(y))=y \to f(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}$

 

Giả sử tồn tại $x,y$ sao cho $f(x)=f(x)$, suy ra $f(f(x))=f(f(y)) \to x=y$, do đó $f$ là đơn ánh.

 

Cho $x=f(x)$ vào phương trình ban đầu, ta được: \[f((f(x))^2+f(y))=f(x).f(f(x)+y=xf(x)+y\]

Kết hợp với phương trình ban đầu, và $f$ đơn ánh nên: \[f(x)^2=x^2 \to f(x)=x \vee f(x)=-x\]

Rồi tiếp tục như hoangtrunghieu.  $\odot $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 15-05-2013 - 16:26

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#4 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 15-05-2013 - 20:26

Cho $x=0 \to f(f(y))=y$
Suy ra $f(x)$ là một song ánh

Cái này có thể giải thích rõ được ko? E ko hiểu lắm!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 15-05-2013 - 20:26

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#5 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 15-05-2013 - 20:39

Cái này có thể giải thích rõ được ko? E ko hiểu lắm!!!

 

Đơn giản thế này :

 

Nếu $f(y_1)=f(y_2)$  => $f(f(y_1))=f(f(y_2))$  =>$y_1=y_2$  => đơn ánh.

 

Mà vế trái có tập giá trị trên $\mathbb{R}$ => vế phải cũng có tập giá trị trên $\mathbb{R}$

 

=>$f$ toàn ánh.

 

=> $f$ song ánh .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#6 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 16-05-2013 - 16:18

[Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi]

 

mình ko hiểu chỗ này. đúng với x là đc rồi còn gì mà ko đúng với mọi cái gì


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#7 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 16:27

[Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi]

 

mình ko hiểu chỗ này. đúng với x là đc rồi còn gì mà ko đúng với mọi cái gì

 

Ý của Hiếu muốn nói là sẽ tồn tại $x_1,x_2$ sao cho $f(x_1)=x_1, f(x_2)=-x_2$. Nhưng đề là tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ nên phải cần chứng minh là không tồn tại hai số $x_1,x_2$ đó => $f(x)=x , \forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)=-x , \forall x\in \mathbb{R}$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8 Gianghg8910

Gianghg8910

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Đã gửi 17-08-2018 - 19:20

Các bạn có thể giúp mình nói về phương pháp giải dạng này không minh cảm ơn







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh