Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x)\geq 1+x$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 09:52

Bài toán 3 :Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn :

 

1)$f(2x)=f^2(x)$

2) $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$

3)$f(x)\geq 1+x$

 

Bài giải :

 

Từ $(1)$ chứng minh bằng quy nạp ta được $f(x)=\left (f\left ( \frac{x}{2^n} \right )  \right )^{2^n}$ $(4)$
Ta sử dụng giới hạn sau: $\lim_{n \rightarrow +\infty } \left ( 1+\frac{x}{n} \right )^n=e^x$
Từ $(4)$ và $(3)$ cho $n \rightarrow +\infty$ ta có :
$f(x)=\left ( f\left ( \frac{x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{x}{2^n} \right )^{2^n}= e^x$ $(5)$
$f(-x)=\left ( f\left ( \frac{-x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{-x}{2^n} \right )^{2^n}= e^{-x}$
Theo $(2)$ được $\frac{1}{f(x)}=f(-x)\geq e^{-x}=\frac{1}{e^x}\Leftrightarrow f(x)\leq e^x$ $(6)$
Từ $(5)$ và $(6)$ có $e^x\geq f(x)\geq e^x \Rightarrow f(x)=e^x$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=e^x$

 

------------

 

Ps: Bài này của Idie9xx, giải giống cách của mình. Các bạn like bài của Idie9xx.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 16-05-2013 - 19:10

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 16-05-2013 - 16:04

Bài toán 3 :Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn :

 

1)$f(2x)=f^2(x)$

2) $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$

3)$f(x)\geq 1+x$

Từ $(1)$ chứng minh bằng quy nạp ta được $f(x)=\left (f\left ( \frac{x}{2^n} \right )  \right )^{2^n}$ $(4)$

Ta sử dụng giới hạn sau: $\lim_{n \rightarrow +\infty } \left ( 1+\frac{x}{n} \right )^n=e^x$

Từ $(4)$ và $(3)$ cho $n \rightarrow +\infty$ ta có :

$f(x)=\left ( f\left ( \frac{x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{x}{2^n} \right )^{2^n}= e^x$ $(5)$

$f(-x)=\left ( f\left ( \frac{-x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{-x}{2^n} \right )^{2^n}= e^{-x}$

Theo $(2)$ được $\frac{1}{f(x)}=f(-x)\geq e^{-x}=\frac{1}{e^x}\Leftrightarrow f(x)\leq e^x$ $(6)$

Từ $(5)$ và $(6)$ có $e^x\geq f(x)\geq e^x \Rightarrow f(x)=e^x$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=e^x$ >:)


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 16-05-2013 - 16:11

F(x) = $a^x$ thì sao hả bạn                    


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 16:19

F(x) = $a^x$ thì sao hả bạn                    

 

Thì sai, đáp án đúng là $f(x)=e^x$ như Idie9xx. Nếu làm cách khác mà ra hàm $f(x)=a^x$ thì phải thử lại và cho kết quả là $a=e$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh