Đến nội dung


Hình ảnh

$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 09:58

Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :

 

$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$,  trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$.

 

Bài giải :

 

Với $q \in \mathbb{Q}$ ta có:
$f'(q)= \lim_{x \rightarrow q} \left | \dfrac{f(x)-f(q)}{x-q} \right | \leq \lim_{x \rightarrow q} 5 \left | x-q \right | =0 \Rightarrow f(q)=c$ ( $c$ là hằng số )
Với $t$ là số vô tỉ ta cho $x<q<t$ với $q \in \mathbb{Q}$
Ta có $\lim_{x \rightarrow t} \left | f(x)-f(t) \right |=\lim_{x \rightarrow t} \left | (f(x)-f(q))+(f(q)-f(t)) \right |$
$\leq \lim_{x \rightarrow q} \left | f(x)-f(q) \right |+\lim_{q \rightarrow t} \left | f(q)-f(t) \right |\leq \lim_{x \rightarrow q} 5(x-q)^2+\lim_{q \rightarrow t} 5(t-q)^2=0$
$\Rightarrow f(x)=f(t)=f(q)=c$
Thử lại thấy $f(x)=c$ thỏa mãn đề.
Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-05-2013 - 19:43

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 16-05-2013 - 15:50

Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :

 

$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$,  trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$

Với $q \in \mathbb{Q}$ ta có:

$f'(q)= \lim_{x \rightarrow q} \left | \dfrac{f(x)-f(q)}{x-q} \right | \leq \lim_{x \rightarrow q} 5 \left | x-q \right | =0 \Rightarrow f(q)=c$ ( $c$ là hằng số )

Với $t$ là số vô tỉ ta cho $x<q<t$ với $q \in \mathbb{Q}$

Ta có $\lim_{x \rightarrow t} \left | f(x)-f(t) \right |=\lim_{x \rightarrow t} \left | (f(x)-f(q))+(f(q)-f(t)) \right |$

$\leq \lim_{x \rightarrow q} \left | f(x)-f(q) \right |+\lim_{q \rightarrow t} \left | f(q)-f(t) \right |\leq \lim_{x \rightarrow q} 5(x-q)^2+\lim_{q \rightarrow t} 5(t-q)^2=0$

$\Rightarrow f(x)=f(t)=f(q)=c$

Thử lại thấy $f(x)=c$ thỏa mãn đề.

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=c$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 16-05-2013 - 15:51

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cà Mau
  • Sở thích:Hoạt hình,phim hành động,đọc truyện

Đã gửi 16-05-2013 - 16:44

Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :

 

$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$,  trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$

 

Đặt $P(x,q)$ là 1 phép thế nào đó của hàm đã cho.

 

$P(x,\frac{x+q}{2})\implies |f(x)-f(\frac{x+q}{2})|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

$P(\frac{x+q}{2},q)\implies |f(\frac{x+q}{2})-f(q)|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

Vì thế $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2}$. Tương tự $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2^n}$.

 

Cho $n\to 0$, $|f(x)-f(q)|\le 0$.

 

Vì thế $f(x)=f(q)$ => $f(x)=c$. Thử lại thỏa.

 

 

Vậy $f(x)=c$



#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 17:24

Đặt $P(x,q)$ là 1 phép thế nào đó của hàm đã cho.

 

$P(x,\frac{x+q}{2})\implies |f(x)-f(\frac{x+q}{2})|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

$P(\frac{x+q}{2},q)\implies |f(\frac{x+q}{2})-f(q)|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.

 

Vì thế $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2}$. Tương tự $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2^n}$.

 

Cho $n\to 0$, $|f(x)-f(q)|\le 0$.

 

Vì thế $f(x)=f(q)$ => $f(x)=c$. Thử lại thỏa.

 

 

Vậy $f(x)=c$

 

Vì $q\in \mathbb{Q}$ nên thay $q$ bởi $\frac{x+q}{2}\in \mathbb{R}$ là không thỏa. 

 

Bài giải của Idie9xx mình thấy phần cuối kì kì,$f(x)=f(t)$ chứ không bằng $f(q)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 17-05-2013 - 20:38

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 26-05-2013 - 19:08

Sao nhiều ngày suy nghĩ thì mình thấy bài này $x$ và $q$ là 2 biến ( không cố định ) nên bài giải của Idie9xx hoàn toàn đúng và hay :D .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh