Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :
$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$, trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$.
Bài giải :
Với $q \in \mathbb{Q}$ ta có:
$f'(q)= \lim_{x \rightarrow q} \left | \dfrac{f(x)-f(q)}{x-q} \right | \leq \lim_{x \rightarrow q} 5 \left | x-q \right | =0 \Rightarrow f(q)=c$ ( $c$ là hằng số )
Với $t$ là số vô tỉ ta cho $x<q<t$ với $q \in \mathbb{Q}$
Ta có $\lim_{x \rightarrow t} \left | f(x)-f(t) \right |=\lim_{x \rightarrow t} \left | (f(x)-f(q))+(f(q)-f(t)) \right |$
$\leq \lim_{x \rightarrow q} \left | f(x)-f(q) \right |+\lim_{q \rightarrow t} \left | f(q)-f(t) \right |\leq \lim_{x \rightarrow q} 5(x-q)^2+\lim_{q \rightarrow t} 5(t-q)^2=0$
$\Rightarrow f(x)=f(t)=f(q)=c$
Thử lại thấy $f(x)=c$ thỏa mãn đề.
Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-05-2013 - 19:43