Chủ đề này có 3 trả lời

[meocon lonton]

CMR : $C_{n}^{1}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{n+1}$

[vo van duc]

CMR : $C_{n}^{1}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{n+1}$

 

Có lẻ là em đẫ viết nhầm đề. Phải viết lại như sau nhỉ!

....................

CMR : $C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{n+1}$

 

Giải:

 

Ta có:

 

$(1-x)^{n}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}-\cdots +C_{n}^{n}(-1)^nx^n$

 

Lấy tích phân hai vế ta có:

 

$\int_{0}^{1}(1-x)^{n}dx=\int_{0}^{1}\left ( C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}-\cdots +C_{n}^{n}(-1)^{n}x^{n} \right )dx$

 

Suy ra điều phải chứng minh.$\blacksquare$

[25 minutes]

Có lẻ là em đẫ viết nhầm đề. Phải viết lại như sau nhỉ!

....................

CMR : $C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}-...+C_{n}^{n}\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{n+1}$

 

Giải:

 

Ta có:

 

$(1-x)^{n}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}-\cdots +C_{n}^{n}(-1)^nx^n$

 

Lấy tích phân hai vế ta có:

 

$\int_{0}^{1}(1-x)^{n}dx=\int_{0}^{1}\left ( C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}-\cdots +C_{n}^{n}(-1)^{n}x^{n} \right )dx$

 

Suy ra điều phải chứng minh.$\blacksquare$

Anh có thể làm theo cách sử dụng tổ hợp và nhị thức Newton ( có thể có đạo hàm ) của cấp 3 được không ạ, và em thấy hình như đề bài có vấn đề rồi ạ ?

[nthoangcute]

Thực chất là chứng minh cái này:

$$\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k+1} \binom{n}{k}=-\frac{1}{n+1}$$

 

Cách 1: Dùng SPTP:

$$\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k+1} \binom{n}{k}=\sum^n_{k=0} \dfrac{1}{k+1} \Delta\left [(-1)^k\binom{n-1}{k-1}  \right ]\\=\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)(k+2)} \binom{n-1}{k}=\sum^n_{k=0} \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\Delta\left [(-1)^{k} \binom{n-2}{k-1}  \right ]\\=\sum^n_{k=0} \dfrac{2(-1)^{k+1}}{(k+1)(k+2) (k+3)} \binom{n-2}{k}\\=\sum^n_{k=0} \dfrac{2.3.(-1)^{k+1}}{(k+1)(k+2) (k+3) (k+4)} \binom{n-3}{k}\\=...\\=\dfrac{2.3.4....n(-1)^{1}}{(0+1)(0+2) (0+3) (0+4)...(0+n+1)}\\=-\frac{1}{n+1}$$

Cách 2: Dùng SP:

$$\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k+1} \binom{n}{k}=\sum^n_{k=0} \Delta\left [\dfrac{(-1)^{k}}{n+1} \binom{n}{k}  \right ]=\left . \dfrac{(-1)^{k}}{n+1} \binom{n}{k} \right |^{n+1}_{{k=0}}=-\frac{1}{n+1}$$

Cách 3:Biến đổi bình thường:
$$\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k+1} \binom{n}{k}=\sum^n_{k=0} \dfrac{(-1)^{k+1}}{n+1} \binom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0} (-1)^{k+1} \binom{n+1}{k+1}=-\frac{1}{n+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 16-05-2013 - 15:30