Bài 5 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,song ánh, tăng thật sự thỏa:
$f(x)+f^{-1}(x)=2x$ (trong đó $f^{-1}$ là hàm ngược của $f$).
Bài giải :
Cho $f^1(x)=f(x), f^0(x)=x$ và $f^n(x)=f(f^{n-1}(x)), \forall n \in \mathbb{Z},x \in \mathbb{R}$
Biến đổi $f(x)+f^{-1}(x)=2x \Leftrightarrow f(x)-x=x-f^{-1}(x)$ Đặt $f(x)-x=g(x)$
Chứng minh bằng quy nạp được $f^n(x)-f^{n-1}(x)=f(x)-x=g(x)$ và cũng chứng minh được $f^n(x)=x+n \cdot g(x)$ với mọi $n \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{R}$
Giờ ta chứng minh $g(x)=c$ ( $c$ là hằng số )
Cho $x>y$ do hàm tăng thật sự nên $f^n(x)>f^n(y) \forall n \in \mathbb{Z}$
Hay $x+n \cdot g(x) >y+ n \cdot g(y)$ $(*)$
Với $g(x) > g(y)$
$(*) \Rightarrow n > \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow - \infty$ )
Với $g(x) < g(y)$
$(*) \Rightarrow n < \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow + \infty$ )
Với $g(x)=g(y)=c$ ta thấy thỏa.
Vây các hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 17-05-2013 - 20:36