Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x)+f^{-1}(x)=2x$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 16-05-2013 - 21:41

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,song ánh, tăng thật sự thỏa:

 

$f(x)+f^{-1}(x)=2x$ (trong đó $f^{-1}$ là hàm ngược của $f$).

 

Bài giải :

 

Cho $f^1(x)=f(x), f^0(x)=x$ và $f^n(x)=f(f^{n-1}(x)), \forall n \in \mathbb{Z},x \in \mathbb{R}$
Biến đổi $f(x)+f^{-1}(x)=2x \Leftrightarrow f(x)-x=x-f^{-1}(x)$ Đặt $f(x)-x=g(x)$
Chứng minh bằng quy nạp được $f^n(x)-f^{n-1}(x)=f(x)-x=g(x)$ và cũng chứng minh được $f^n(x)=x+n \cdot g(x)$ với mọi $n \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{R}$
Giờ ta chứng minh $g(x)=c$ ( $c$ là hằng số )
Cho $x>y$ do hàm tăng thật sự nên $f^n(x)>f^n(y) \forall n \in \mathbb{Z}$
Hay $x+n \cdot g(x) >y+ n \cdot g(y)$ $(*)$
Với $g(x) > g(y)$
$(*) \Rightarrow n > \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow - \infty$ )
Với $g(x) < g(y)$
$(*) \Rightarrow n < \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow + \infty$ )
Với $g(x)=g(y)=c$ ta thấy thỏa.
Vây các hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 17-05-2013 - 20:36

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 17-05-2013 - 16:36

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,song ánh, tăng thật sự thỏa:

 

$f(x)+f^{-1}(x)=2x$ (trong đó $f^{-1}$ là hàm ngược của $f$).

Cho $f^1(x)=f(x), f^0(x)=x$ và $f^n(x)=f(f^{n-1}(x)), \forall n \in \mathbb{Z},x \in \mathbb{R}$

Biến đổi $f(x)+f^{-1}(x)=2x \Leftrightarrow f(x)-x=x-f^{-1}(x)$ Đặt $f(x)-x=g(x)$

Chứng minh bằng quy nạp được $f^n(x)-f^{n-1}(x)=f(x)-x=g(x)$ và cũng chứng minh được $f^n(x)=x+n \cdot g(x)$ với mọi $n \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{R}$

Giờ ta chứng minh $g(x)=c$ ( $c$ là hằng số )

Cho $x>y$ do hàm tăng thật sự nên $f^n(x)>f^n(y) \forall n \in \mathbb{Z}$

Hay $x+n \cdot g(x) >y+ n \cdot g(y)$ $(*)$

Với $g(x) > g(y)$

$(*) \Rightarrow n > \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow - \infty$ )

Với $g(x) < g(y)$

$(*) \Rightarrow n < \dfrac{y-x}{g(x)-g(y)}$ ( mâu thuẫn khi cho $n \rightarrow + \infty$ )

Với $g(x)=g(y)=c$ ta thấy thỏa :))

Vây các hàm thỏa mãn đề là $f(x)=x+c$ >:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 17-05-2013 - 16:38

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 17-05-2013 - 21:12

đừng cho mình gạch nhá. 97 thì ko hiểu là đúng.

 

có phải $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ không vậy?

 

sao tự nhiên lại nghĩ ra là cho: $f^n(x)= (ff^{n-1}(x))$

 

cảm ơn các bạn!


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-05-2013 - 07:05

đừng cho mình gạch nhá. 97 thì ko hiểu là đúng.

 

có phải $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ không vậy?

 

sao tự nhiên lại nghĩ ra là cho: $f^n(x)= (ff^{n-1}(x))$

 

cảm ơn các bạn!

 

Trong đề anh có giải thích mà. $f^{-1}(x)$ là hàm ngược của $f(x)$ . Có nghĩa là $f^{-1}(f(x))=x$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh