Chủ đề này có 2 trả lời

[chaocanha]

Tính tổng $\sum_{k=0}^{k=n}k*3^{n-k}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-05-2013 - 09:49

[nthoangcute]

$$\sum^n_{{k=0}}k3^{n-k}=\sum^n_{k=0}\Delta\left [ -\frac{(2k+1)3^{n-k+1}}{4} \right ]=\frac{3}{4}3^n-\frac{3}{4}-\frac{1}{2} n$$

[dark templar]

Tính tổng $\sum_{k=0}^{k=n}k*3^{n-k}$

Sử dụng 1 hằng đẳng thức quen thuộc sau:

$$\boxed{\displaystyle 1+x+x^2+...+x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}}$$

 

Đạo hàm 2 vế:

\[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x^{k - 1}}}  = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)'} \Leftrightarrow \boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {k{x^k}}  = \frac{{n{x^{n + 2}} - \left( {n + 1} \right){x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}\]

 

Như vậy:

\[\sum\limits_{k = 1}^n {k{3^{n - k}}}  = {3^n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{3^k}}}}  ={3^n}.\frac{{\frac{n}{{{3^{n + 2}}}} - \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}} + \frac{1}{3}}}{{{{\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}^2}}} =\boxed{\displaystyle \frac{{{3^{n + 1}} - 2n - 3}}{4}}\]