Đến nội dung


Hình ảnh

$f(xy+1)=xf(y)+2012$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-05-2013 - 07:25

Bài 7 :Cho hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả : $f(xy+1)=xf(y)+2014$

 

Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3> \frac{1}{4}(2014)^7$.

 

Bài giải :

 

C1: Trong (1)  cho x=0 $=> f(1)=2014$

Cho x=y=1 $=> f(2) = f(1)+2012 = 2.2014$

Cho x=2 ; y=1 => f(3)=2f(1)+2012=3.2014$

...

Chứng minh bằng quy nạp ta có $f(xy+1)=2014(xy+1)$

(ở đây ta cố định y=1 và $x \in N$)

Vậy hàm $f(x) = 2014x $ thoả mãn đề bài.

Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$

 

C2 : Theo giả thuyết ta có: $f(xy+1)=xf(y)+2012; \forall x,y\in \mathbb{N}$. Cho $x=0$, ta được $f(1)=2014$. Lại cho $y=1$, ta được $f(x+1)=xf(1)+2014=2014(x+1)$. Từ đó suy ra $f(i)=2014i$ với mọi $i$ là số tự nhiên. Ta thử lại $VT=f(xy+1)=2012(xy+1)=x(2012y)+2012=xf(y)+2012=VP$. Do đó  $f(i)=2012i$ với mọi $i$ là số tự nhiên.

Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$

 

C3 :Cho $x=0$ có $f(1)=2014$

Với $n \in \mathbb{N}$ cho $x=1,y=n$ có $f(n+1)=f(n)+2014$
Và cho $x=n,y=1$ có $f(n+1)=nf(1)+2012 \Rightarrow f(n)=nf(1)=2014n$ ( thỏa )
Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$ (dpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-05-2013 - 15:52

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 18-05-2013 - 09:33

Trong (1)  cho x=0 $=> f(1)=2014$

 

Cho x=y=1 $=> f(2) = f(1)+2012 = 2.2014$

 

Cho $x=2 ; y=1 => f(3)=2f(1)+2012=3.2014$

 

...

 

chứng minh bằng quy nạp ta có $f(xy+1)=2014(xy+1)$

 

(ở đây ta cố định y=1 và $x \in N$)

 

vậy hàm $f(x) = 2014x $ thoả mãn đề bài.

 

chứng minh bđt bên dưới thì dễ rồi!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 18-05-2013 - 18:01

Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#3 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 18-05-2013 - 12:02

Cách khác:

Theo giả thuyết ta có: $f(xy+1)=xf(y)+2012; \forall x,y\in \mathbb{N}$. Cho $x=0$, ta được $f(1)=2014$. Lại cho $y=1$, ta được $f(x+1)=xf(1)+2014=2014(x+1)$. Từ đó suy ra $f(i)=2014i$ với mọi $i$ là số tự nhiên. Ta thử lại $VT=f(xy+1)=2012(xy+1)=x(2012y)+2012=xf(y)+2012=VP$. Do đó  $f(i)=2012i$ với mọi $i$ là số tự nhiên. Phần còn lại thì đơn giản rùi!!! :luoi: . Chắc chắn ý tưởng của namcpnh cũng giống mình thôi  :icon6: !!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-05-2013 - 15:48

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 18-05-2013 - 12:19

Bài 7 :Cho hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả : $f(xy+1)=xf(y)+2012$

 

Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3> \frac{1}{4}(2014)^7$.

Cho $x=0$ có $f(1)=2014$

Với $n \in \mathbb{N}$ cho $x=1,y=n$ có $f(n+1)=f(n)+2014$

Và cho $x=n,y=1$ có $f(n+1)=nf(1)+2012 \Rightarrow f(n)=nf(1)=2014n$ ( thỏa )

Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$

$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$ (dpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-05-2013 - 15:49

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 18-05-2013 - 13:58

$2012^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$ (dpcm)

Hình như đề bài này namcpnh cho ko đúng thì phải?

Ta thấy rõ ràng: $2012^{3}.2015^{2}=(2014-2)^{3}.(2014+1)^{2}=(2014^{3}-6.2014^{2}+12.2014-8)(2014^{2}+2.2014+1)=2014^{5}-6.2014^{4}+12.2014^{3}-8.2014^{2}+2.2014^{4}-12.2014^{3}+24.2014^{2}-16.2014+2014^{3}-6.2014^{2}+12.2014-8=2014^{5}-4.2014^{4}+2014^{3}-6.2014^{2}-4.2014-8<2014^{5}$. Do đó dẫn đến BĐT này sai!!! Từ đó suy ra BĐT ban đầu namcpnh đưa ra là sai!!! :luoi:  


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-05-2013 - 15:45

Đúng là phần BĐT sai, sorry mọi người :D . ( Đề đã sửa)

 

Like 3 bài trên ( tình hình là bài này quá dễ :D )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-05-2013 - 15:57

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh