Bài 7 :Cho hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả : $f(xy+1)=xf(y)+2014$
Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3> \frac{1}{4}(2014)^7$.
Bài giải :
C1: Trong (1) cho x=0 $=> f(1)=2014$
Cho x=y=1 $=> f(2) = f(1)+2012 = 2.2014$
Cho x=2 ; y=1 => f(3)=2f(1)+2012=3.2014$
...
Chứng minh bằng quy nạp ta có $f(xy+1)=2014(xy+1)$
(ở đây ta cố định y=1 và $x \in N$)
Vậy hàm $f(x) = 2014x $ thoả mãn đề bài.
Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$
C2 : Theo giả thuyết ta có: $f(xy+1)=xf(y)+2012; \forall x,y\in \mathbb{N}$. Cho $x=0$, ta được $f(1)=2014$. Lại cho $y=1$, ta được $f(x+1)=xf(1)+2014=2014(x+1)$. Từ đó suy ra $f(i)=2014i$ với mọi $i$ là số tự nhiên. Ta thử lại $VT=f(xy+1)=2012(xy+1)=x(2012y)+2012=xf(y)+2012=VP$. Do đó $f(i)=2012i$ với mọi $i$ là số tự nhiên.
Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$
C3 :Cho $x=0$ có $f(1)=2014$
Với $n \in \mathbb{N}$ cho $x=1,y=n$ có $f(n+1)=f(n)+2014$
Và cho $x=n,y=1$ có $f(n+1)=nf(1)+2012 \Rightarrow f(n)=nf(1)=2014n$ ( thỏa )
Ta có $\sum_{i=1}^{2014}(f(i))^3=\sum_{i=1}^{2014}(2014i)^3=2014^3 \sum_{i=1}^{2014}i^3$
$=2014^3\left ( \sum_{i=1}^{2014}i \right )^2=2014^3\left ( \dfrac{2014 \cdot 2015}{2} \right )^2>\frac{1}{4}(2014)^7$ (dpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 18-05-2013 - 15:52
. ( Đề đã sửa)
