Bài 8:Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thoả:
1) $f(1)=1$
2) $f(a^2+b^2+c^2+d^2)=(f(a))^2+(f(b))^2+(f(c))^2+(f(d))^2$
Bài giải:
Chọn $a=b=c=d=1$ ta có : $f(4)=4$
Ta thấy : $(f(5))^2+(f(2))^2+(f(2))^2+(f(1))^2=(f(4))^2+(f(4))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$
=>$(f(5))^2+2(f(2))^2=33$ (*)
Tương tự : $(f(5))^2+(f(1))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(4))^2+(f(2))^2+(f(2))^2+(f(2))^2$
=> $(f(5))^2-3(f(2))^2=13$ (**)
Từ (*) và (**) ta có : $f(2)=2,f(5)=5$
Tương tự thế ta có thể tìm được $f(i)=i, \forall i=\bar{1,10}$
Ta sẽ chứng minh $f(n)=n, \forall n\in \mathbb{N}^*$ (1)
Giả sử (1) đúng đến :$(2n-2)$ và $(2n-1)$, tức là $f(2n-2)=2n-2$ và $f(2n-1)=2n-1$ , $n\geq 6$
Ta sẽ chứng minh đúng đến $2n$ và $(2n+1)$, $n\geq 6$
Thật vậy ta có : $(f(2n+1))^2+(f(n-2))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(2n-1))^2+(f(n+2))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$
<=> $(f(2n+1))^2+(n-2)^2+2=(2n-1)^2+(n+2)^2+2$
<=> $(f(2n+1))^2=(2n+1)^2$
<=> $f(2n+1)=2n+1$
Tương tự $(f(2n))^2+(f(n-5))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(2n-4))^2+(f(n+3))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$
<=>$(f(2n))^2=4n^2$
<=> $f(2n)=2n$
=> $(1)$ đúng đến $2n$ và $(2n+1)$, $n\geq 6$
=> phép CM kết thúc, ta có ĐPCM.
Vậy $f(n)=n, \forall n\in \mathbb{N}^*$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 19-05-2013 - 12:16
