Đến nội dung


Hình ảnh

$f(a^2+b^2+c^2+d^2)=(f(a))^2+(f(b))^2+(f(c))^2+(f(d))^2$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-05-2013 - 07:29

Bài 8:Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thoả:

 

1) $f(1)=1$

 

2) $f(a^2+b^2+c^2+d^2)=(f(a))^2+(f(b))^2+(f(c))^2+(f(d))^2$

 

Bài giải: 

 

Chọn $a=b=c=d=1$ ta có : $f(4)=4$

 

Ta thấy : $(f(5))^2+(f(2))^2+(f(2))^2+(f(1))^2=(f(4))^2+(f(4))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$

 

=>$(f(5))^2+2(f(2))^2=33$ (*)

 

Tương tự : $(f(5))^2+(f(1))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(4))^2+(f(2))^2+(f(2))^2+(f(2))^2$

 

=> $(f(5))^2-3(f(2))^2=13$ (**)

 

Từ (*) và (**) ta có : $f(2)=2,f(5)=5$

 

Tương tự thế ta có thể tìm được $f(i)=i, \forall i=\bar{1,10}$

 

Ta sẽ chứng minh $f(n)=n, \forall n\in \mathbb{N}^*$ (1)

 

Giả sử (1) đúng đến :$(2n-2)$ và $(2n-1)$, tức là $f(2n-2)=2n-2$ và $f(2n-1)=2n-1$ , $n\geq 6$

 

Ta sẽ chứng minh đúng đến $2n$ và $(2n+1)$, $n\geq 6$

 

Thật vậy ta có : $(f(2n+1))^2+(f(n-2))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(2n-1))^2+(f(n+2))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$

 

<=> $(f(2n+1))^2+(n-2)^2+2=(2n-1)^2+(n+2)^2+2$

 

<=> $(f(2n+1))^2=(2n+1)^2$

 

<=> $f(2n+1)=2n+1$

 

Tương tự $(f(2n))^2+(f(n-5))^2+(f(1))^2+(f(1))^2=(f(2n-4))^2+(f(n+3))^2+(f(1))^2+(f(1))^2$

 

<=>$(f(2n))^2=4n^2$

 

<=> $f(2n)=2n$

 

=> $(1)$ đúng đến $2n$ và $(2n+1)$, $n\geq 6$

 

=> phép CM kết thúc, ta có ĐPCM.

 

Vậy $f(n)=n, \forall n\in \mathbb{N}^*$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 19-05-2013 - 12:16

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 18-05-2013 - 09:23

Bài này khó quá mình ko làm được @@

 

Trong (2) cho a=b=c=d=0 $=> f(0) = 4f^2(0) => f(0) = 0$ hoặc $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

TH1 : $f(0)=0$

 

Trong (2) cho b=c=d=0 $=> f(a^2) = f^2(a)$

 

$=> (2) : f(a^2+b^2+c^2+d^2)=f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)+f^2(d) = f(a^2)+f(b^2)+f(c^2)+f(d^2)$

 

$=> f(x)$ cộng tính 

 

$=> f(x) = ax$

 

và $f(x^2)=f^2(x) <=> ax^2 = a^2x^2 => a=0$ hoặc $ a=1$

 

$=> f(x) = 0$ hoặc $f(x) = x$

 

vì f(1)=1 nên kết luận f(x) =x thoả mãn.

 

TH2 : $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

trường này mình chịu @@

 

 


TH2 khi thay b=c=d=0 và a=1 thì ta ra được một phương trình bậc 2(nhưng vô nghiệm). Vì thế ko thể có chuyện f(0)=1/4. Do đó bài toán được giải quyết!!!  :icon6:

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 18-05-2013 - 18:05

Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#3 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 18-05-2013 - 11:40

TH2 : $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

trường này mình chịu @@

TH2 khi thay b=c=d=0 và a=1 thì ta ra được một phương trình bậc 2(nhưng vô nghiệm). Vì thế ko thể có chuyện f(0)=1/4. Do đó bài toán được giải quyết!!! :icon6:


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 18-05-2013 - 11:42

nhưng mà không có $f(a^2)=f^2(a)$ đâu vì f(0) không bằng 0


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#5 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 18-05-2013 - 11:45

nhưng mà không có $f(a^2)=f^2(a)$ đâu vì f(0) không bằng 0

Cái phương trình khi thay vào là $f(1)=f^{2}(1)+\frac{3}{4}$.Rõ ràng phương trình này vô nghiệm.Vì thế ko tìm được f(1) (loại)...


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 18-05-2013 - 16:02

Bài này khó quá mình ko làm được @@

 

Trong (2) cho a=b=c=d=0 $=> f(0) = 4f^2(0) => f(0) = 0$ hoặc $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

TH1 : $f(0)=0$

 

Trong (2) cho b=c=d=0 $=> f(a^2) = f^2(a)$

 

$=> (2) : f(a^2+b^2+c^2+d^2)=f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)+f^2(d) = f(a^2)+f(b^2)+f(c^2)+f(d^2)$

 

$=> f(x)$ cộng tính 

 

$=> f(x) = ax$

 

và $f(x^2)=f^2(x) <=> ax^2 = a^2x^2 => a=0$ hoặc $ a=1$

 

$=> f(x) = 0$ hoặc $f(x) = x$

 

vì f(1)=1 nên kết luận f(x) =x thoả mãn.

 

TH2 : $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

trường này mình chịu @@

 

 

Cái phương trình khi thay vào là $f(1)=f^{2}(1)+\frac{3}{4}$.Rõ ràng phương trình này vô nghiệm.Vì thế ko tìm được f(1) (loại)...

 

Không ai nhìn vài tập giá trị và tập xác định cả : $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$, nghĩ là $x>0$và $f(x)>0$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 19-05-2013 - 11:57

Mình đăng bài giải, các bạn vào đọc tham khảo. Hy vọng đây là bài duy nhất trong 100 bài mà các bạn không giải ra.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh