Cho a,b,c > 0. cmr:
$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{b^{3}}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{c^{3}}{a^{3}+c^{3}+abc}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-05-2013 - 21:29
Giải như sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(ac^2)^3 + (ba^2)^3+(cb^2)^3 \ge (abc)^2(a^3+b^3+c^3)\ \ (1)$
Lại có
$(ac^2)^3 + (ba^2)^3 + (ba^2)^3 \ge 3a^5b^2c^2$
Lập các bất đẳng thức tương tự, cộng lại có bất đẳng thức $(1) \iff$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-05-2013 - 10:05
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
Cho a,b,c > 0. cmr:
$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{b^{3}}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{c^{3}}{a^{3}+c^{3}+abc}\geq 1$
Đặt $a=\frac{y}{x}$
$b=\frac{z}{y}$
$c=\frac{x}{z}$
BĐT trở thành
$\sum \frac{a^6}{a^6+c^3a^3+b^3c^3}\ge 1$
Sử dụng trực tiếp Cauchy-Schwarz, ta có đpcm
Anh làm như vậy là đã chuẩn hóa $abc = 1$. Cho em hỏi là khi nào mình được chuẩn hóa (đối xứng đồng bậc ?)
Ta chỉ có thể chuẩn hoá một bất đẳng thức đối xứng 3 biến khi bất đẳng thức đó thuần nhất.
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Ta chỉ có thể chuẩn hoá một bất đẳng thức đối xứng 3 biến khi bất đẳng thức đó thuần nhất.
Anh nói kĩ ra tí nữa chứ
Anh làm như vậy là đã chuẩn hóa $abc = 1$. Cho em hỏi là khi nào mình được chuẩn hóa (đối xứng đồng bậc ?)
Giả sử bất đẳng thức ta cần chứng minh có dạng
$f(a;b;c)\ge k$
Mà ta thấy rằng nếu $f(a;b;c)\ge k$ đúng thì $f(at;bt;ct)\ge k$ cũng đúng với $ \forall t >0$
thì bất đẳng thức đó được gọi là thuần nhất.
Lúc đó thì ta có thể chuẩn hóa .
Đặt $a=\frac{y}{x}$
$b=\frac{z}{y}$
$c=\frac{x}{z}$
BĐT trở thành
$\sum \frac{a^6}{a^6+c^3a^3+b^3c^3}\ge 1$Sử dụng trực tiếp Cauchy-Schwarz, ta có đpcm
BĐT phải trở thành$\sum \frac{a^6}{a^6+a^3b^3+a^3}\geq 1$ chứ nhỉ?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh