Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{cyc}\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc} \ge 1$ với $a,b,c>0$.

toc ngan

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Hulk NH

Hulk NH

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Cho a,b,c > 0. cmr:

$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{b^{3}}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{c^{3}}{a^{3}+c^{3}+abc}\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-05-2013 - 21:29

  • Nxb yêu thích

#2
vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Gơị ý $a^3+b^3+abc \geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#3
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

Giải như sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(ac^2)^3 + (ba^2)^3+(cb^2)^3 \ge (abc)^2(a^3+b^3+c^3)\ \ (1)$

Lại có
$(ac^2)^3 + (ba^2)^3 + (ba^2)^3 \ge 3a^5b^2c^2$

Lập các bất đẳng thức tương tự, cộng lại có bất đẳng thức $(1) \iff$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 19-05-2013 - 10:05

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho a,b,c > 0. cmr:

$\frac{a^{3}}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{b^{3}}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{c^{3}}{a^{3}+c^{3}+abc}\geq 1$

Đặt $a=\frac{y}{x}$
$b=\frac{z}{y}$
$c=\frac{x}{z}$
BĐT trở thành
$\sum \frac{a^6}{a^6+c^3a^3+b^3c^3}\ge 1$

Sử dụng trực tiếp Cauchy-Schwarz, ta có đpcm



#5
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Anh làm như vậy là đã chuẩn hóa $abc = 1$. Cho em hỏi là khi nào mình được chuẩn hóa (đối xứng đồng bậc ?)

Ta chỉ có thể chuẩn hoá một bất đẳng thức đối xứng 3 biến khi bất đẳng thức đó thuần nhất.


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#6
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Ta chỉ có thể chuẩn hoá một bất đẳng thức đối xứng 3 biến khi bất đẳng thức đó thuần nhất.

:)) Anh nói kĩ ra tí nữa chứ :P

 

Anh làm như vậy là đã chuẩn hóa $abc = 1$. Cho em hỏi là khi nào mình được chuẩn hóa (đối xứng đồng bậc ?)

Giả sử bất đẳng thức ta cần chứng minh có dạng

$f(a;b;c)\ge k$
Mà ta thấy rằng nếu $f(a;b;c)\ge k$ đúng thì $f(at;bt;ct)\ge k$ cũng đúng với $ \forall t >0$
thì bất đẳng thức đó được gọi là thuần nhất.

Lúc đó thì ta có thể chuẩn hóa .



#7
Hunghcd

Hunghcd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Đặt $a=\frac{y}{x}$
$b=\frac{z}{y}$
$c=\frac{x}{z}$
BĐT trở thành
$\sum \frac{a^6}{a^6+c^3a^3+b^3c^3}\ge 1$

Sử dụng trực tiếp Cauchy-Schwarz, ta có đpcm

BĐT phải trở thành$\sum \frac{a^6}{a^6+a^3b^3+a^3}\geq 1$ chứ nhỉ?



#8
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

https://diendantoanh...ô-si-ngược-dấu/

Có thêm 2 cách ở đây






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh