Chủ đề này có 43 trả lời

[E. Galois]

Bài 8

Lập phương trình các cạnh của tam giác biết trực tâm H(2;2) và đường tròn đi qua chân các đường cao: $x^2+y^2-4x-2y+1=0$

 

Đường tròn đã cho chính là đường tròn Euler của tam giác. Đường tròn Euler đi qua chân các đường cao, các trung điểm các cạnh, các trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh và trực tâm.

 

Tâm đường tròn Euler là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm ngoại tiếp và trực tâm. Bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp. Từ đây, em viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp. 

 

Nếu điểm A nằm trên đường tròn ngoại tiếp, thì trung điểm của AH nằm ở đâu? Từ đó, em có tìm được tọa độ của A, B, C ko? 

[trangxoai1995]

 

 

Em hãy vẽ hình.  Lấy tiếp đối xứng (C2) qua d, được (C'). Nêu nhận xét về giao điểm của đường tròn (C) với (C2), (C') với (C1). 

Anh còn chưa trả lời câu hỏi của em. Em đã vẽ ra rồi, chúng cắt nhau tại 4 điểm, liệu có phải chúng đôi một đối xứng với nhau qua d ko ạ?

[E. Galois]

Anh còn chưa trả lời câu hỏi của em. Em đã vẽ ra rồi, chúng cắt nhau tại 4 điểm, liệu có phải chúng đôi một đối xứng với nhau qua d ko ạ?

Uh. Chính là như vậy mà. Em vẽ hình ra có thấy như vậy không?

[trangxoai1995]

Đường tròn đã cho chính là đường tròn Euler của tam giác. Đường tròn Euler đi qua chân các đường cao, các trung điểm các cạnh, các trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh và trực tâm.

 

Tâm đường tròn Euler là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm ngoại tiếp và trực tâm. Bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp. Từ đây, em viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp. 

 

Nếu điểm A nằm trên đường tròn ngoại tiếp, thì trung điểm của AH nằm ở đâu? Từ đó, em có tìm được tọa độ của A, B, C ko? 

Anh ơi, em thử làm theo cách đó nhưng không ra anh ạ.  Em trình bày anh xem em sai chỗ nào nhé.

Đường tròn Ơle đã cho có tâm $I_1(2;1)$. Theo lý thuyết anh cho nên em viết được phương trình ngoại tiếp tam giác ABC: $(x-2)^2+y^2=16$. Giả sử tam giác ABC có $A(x_1;y_1)$, gọi M là trung điểm của AH, khi đó: $M\left ( \frac{x_1+2}{2};\frac{y_1+2}{2} \right )$

Vì A thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên $x_1^2+y_1^2-4x_1=12$ (1)

Vì M thuộc đường tròn Ơle,... đến đây em có thắc mắc là sau khi thay toạ độ diểm M vào phương trình ơle sau khi rút gọn thì nó ra phương trình giống hệt phương trình đầu. Anh xem lại hộ em với.

[E. Galois]

Đúng rồi, đề bài của em có thiếu không nhỉ, vì anh cảm thấy có vô số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán

[minhson95]

Anh ơi, em thử làm theo cách đó nhưng không ra anh ạ.  Em trình bày anh xem em sai chỗ nào nhé.

Đường tròn Ơle đã cho có tâm $I_1(2;1)$. Theo lý thuyết anh cho nên em viết được phương trình ngoại tiếp tam giác ABC: $(x-2)^2+y^2=16$. Giả sử tam giác ABC có $A(x_1;y_1)$, gọi M là trung điểm của AH, khi đó: $M\left ( \frac{x_1+2}{2};\frac{y_1+2}{2} \right )$

Vì A thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên $x_1^2+y_1^2-4x_1=12$ (1)

Vì M thuộc đường tròn Ơle,... đến đây em có thắc mắc là sau khi thay toạ độ diểm M vào phương trình ơle sau khi rút gọn thì nó ra phương trình giống hệt phương trình đầu. Anh xem lại hộ em với.

 

Đúng rồi đề bài bạn có vấn đề. Vô số tam giác thỏa mãn bài toán.

 

Bạn xem bài hình học phẳng đề thi thử chuyên ĐHSPHN lần 1 - 2013 nhé. Bài hình giải tích phẳng đó cũng gần tương tự như bài này. Cũng ứng dụng đường tròn Euler để làm.

 

P/s: lâu lắm không vào VMF mà chuyên mục ôn thi đại học náo nhiệt ghê!!!

[knhu23]

Em đã làm ra rồi anh ạ. Nhưng kết quả thấy hơi lẻ.


Bài này làm theo tham số a,b nhưng mãi không thấy ra. Ai định hướng cách làm giúp mình với.

 

Bài 6
Cho tam giác ABC có đường phân giác trong kẻ từ A có phương trình: $3x-y-1=0$, đường trung tuyến kẻ từ B là: $3x+y+3=0$, đường cao hạ từ C là: $x+y+3=0$, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

chị ơi bài này có thể lam như thế này ạ :

ta thấy hai đường phân giác và trung tuyến vuông góc với nhau , vậy ta lấy đối xứng M(M là trung điểm AC) qua phân giác AD thì điểm đối xứng là B 

Athuôc AD suy ra dạng A
M thuộc BM suy ra dạng M 
gọi I là gđ của BM AD tọa độ I là nghiệm hệ : BM giao AD 
suy ra tọạ độ B theo M.
Tính vécto AB  Mà AB*uCH =O ta được 1 pt 
mà M là trung điểm AC nên dạng C
Cthuoocj CH tọa độ C thỏa mãn pt CH được pt thứ hai 
Giải hệ là ra ạ 

[trangxoai1995]

chị ơi bài này có thể lam như thế này ạ :

ta thấy hai đường phân giác và trung tuyến vuông góc với nhau , vậy ta lấy đối xứng M(M là trung điểm AC) qua phân giác AD thì điểm đối xứng là B 

Athuôc AD suy ra dạng A
M thuộc BM suy ra dạng M 
gọi I là gđ của BM AD tọa độ I là nghiệm hệ : BM giao AD 
suy ra tọạ độ B theo M.
Tính vécto AB  Mà AB*uCH =O ta được 1 pt 
mà M là trung điểm AC nên dạng C
Cthuoocj CH tọa độ C thỏa mãn pt CH được pt thứ hai 
Giải hệ là ra ạ 

Em ơi, liệu ở đây em có nhầm lẫn gì không vậy? Làm sao trong một tam giác thường, đường phân giác lại có thể vuông góc với đường trung tuyến được?????

[knhu23]

Em ơi, liệu ở đây em có nhầm lẫn gì không vậy? Làm sao trong một tam giác thường, đường phân giác lại có thể vuông góc với đường trung tuyến được?????

quên e đọc nhầm đề :
vậy chị có thể làm theo cách này : 
A thuộc AM suy ra dạng A 
C thuộc CH nên dạng C 
Gọi N là trung điểm AC suy ra dạng N 
N thuộc BN Nên tọa độ N tm pt BN(1pt)
lấy C' đx C qua pg AD 
viết pt CC' 

Gọi I là AM $\bigcap$CC'=> tọa độ I
I là trung điểm của CC' => tọa độ C' 
Mà véc to AC .uCH =O
được 1 pt
giải hệ là đk 

 

_________

 

@knhu23:  Đề nghị bạn học cách gõ công thức toán ở ĐÂY bạn không cần thực hiện lời giải chi tiết nhưng cần phải viết câu chữ rõ ràng!

(leminhansp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 12-06-2013 - 17:20
Nhắc nhở

[trangxoai1995]

quên e đọc nhầm đề :
vậy chị có thể làm theo cách này : 
A thuộc AM suy ra dạng A 
C thuộc CH nên dạng C 
Gọi N là trung điểm AC suy ra dạng N 
N thuộc BN Nên tọa độ N tm pt BN(1pt)
lấy C' đx C qua pg AD 
viết pt CC' 

Gọi I là AM $\bigcap$CC'=> tọa độ I
I là trung điểm của CC' => tọa độ C' 
Mà véc to AC .uCH =O
được 1 pt
giải hệ là đk 

 

_________

 

@knhu23:  Đề nghị bạn học cách gõ công thức toán ở ĐÂY bạn không cần thực hiện lời giải chi tiết nhưng cần phải viết câu chữ rõ ràng!

(leminhansp)

Đọc theo cách của em hình như cũng na ná theo cách của anh E.Galois thi phải.

[ailaiphai]

Giải dùm mình câu này nhé. 

 

Bài 9

Trong toạ độ Oxy có tam giác ABC cân tại A. trong đó AB có pt: x + 3y -1 =0   AC có pt: 3x + y +5=0 .

Điểm M( -4,1) thuộc BC. Tìm tọa độ B,C

 

Thanks.

 

Mình chưa có hướng giải thật. Nhưng có 1 người bạn cung cấp công thức pt AH là đường trung tuyến và cũng là đường cao là : $\frac{ax + by + c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \pm \frac{a{}'x + b{}'y + c{}'}{\sqrt{a{}'^{2}+b{}'^{2}}} = 0$  với ax + by + c và $a{}'x + b{}'y + c{}'$ là phương trình của 2 cạnh bên. 

Không biết có đúng không ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-06-2013 - 08:27

[Peter97]

Giải dùm mình câu này nhé.

 

Trong toạ độ Oxy có tam giác ABC cân tại A. trong đó AB có pt: x + 3y -1 =0   AC có pt: 3x + y +5=0 .

Điểm M( -4,1) thuộc BC. Tìm tọa độ B,C

 

Thanks.

 

 

Theo mình thì thế này 

Đầu tiên bạn tính $\cos \widehat{BAC} = \cos ( AB,AC)$

Sau đó kẻ đường cao AH đồng thời là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$

Dựa vào công thức nhân đôi tính $\cos \widehat{\frac{BAC}{2}} = \cos\widehat{BAH}$

Tìm ra đc VTPT CỦA AH $\Rightarrow$ VTPT của BC

Từ đó viết đc PT cạnh BC SUY RA TOA ĐỘ ĐIỂM CẦN TÌM

[ailaiphai]

Theo mình thì thế này 

Đầu tiên bạn tính $\cos \widehat{BAC} = \cos ( AB,AC)$

Sau đó kẻ đường cao AH đồng thời là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$

Dựa vào công thức nhân đôi tính $\cos \widehat{\frac{BAC}{2}} = \cos\widehat{BAH}$

Tìm ra đc VTPT CỦA AH $\Rightarrow$ VTPT của BC

Từ đó viết đc PT cạnh BC SUY RA TOA ĐỘ ĐIỂM CẦN TÌM

 

Như  vậy ra được 1 phương trình. còn 1 nữa để kiếm ẩn của AH(a,b) nữa bạn? 

Và cái công thức mình đưa ra lúc đầu có đúng không? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ailaiphai: 15-06-2013 - 22:03

[CD13]

Trong toạ độ Oxy có tam giác ABC cân tại A. trong đó AB có pt:$ x + 3y -1 =0$   AC có pt: $3x + y +5=0 $.

Điểm M( -4,1) thuộc BC. Tìm tọa độ B,C

Hướng dẫn:

+ Gọi đường thẳng $BC$ đi qua $M$ có vetơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B),(A^2+B^2\neq 0).$ Khi đó $BC:Ax+By+4A-B=0$

+ Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\cos \widehat{ABC}=\cos \widehat{ACB}$

(Công thức trên chắc em biết dùng chứ?!)

+ Từ đẳng thức trên ta nhận được phương trình theo $A,B$. Sau đó chọn một trong hai giá trị $A, B$ và tính giá trị còn lại!

[E. Galois]

Cách 2:

- Viết phương trình đường phân giác $AH$ - đồng thời là đường cao

- Viết phương trình $BC$ đi qua $M$ và vuông góc $AH$

- Tìm tọa độ giao điểm của $BC$ với $AC, AB$ là xong

[Peter97]

Như  vậy ra được 1 phương trình. còn 1 nữa để kiếm ẩn của AH(a,b) nữa bạn? 

Và cái công thức mình đưa ra lúc đầu có đúng không? 

Ta tính đc VTPT của AH và qua điểm A Đã biết suy ra PT AH. Dễ dàng suy ra PT BC mà bạn. Còn cái công thức đầu mình cũng chưa gặp bao giờ. Có lẽ fari hỏi E.Galois

[fabregaslf4]

Bài 10
cho $A(1;0)$ và $(C):x^2+y^2=2$ và $(C'):x^2+y^2=5$ .tìm tọạ Độ $B , C$ lần lượt thuộc $(C)$ và $C'$ để tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất

Bài toán 11
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(1;4)$ và hai đường tròn $(C_1):(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=13 , (C_2): (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ Tìm trên hai đường tròn $(C1), (C2)$ lần lượt 2 điểm $M,N$ sao cho
a) tam giác AMN vuông cân tại A
b, tam giác AMN đều


Bài toán 12
Cho tam giác ABC có A(2;-2) , B(4;0) , C(3;$\sqrt{2}$-1) và d: 4x+y-4=0 tìm trên d điểm M sao cho tiếp tuyến qua M tiếp xúc với (C) tại N thảo mãn diện tích NAB max?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-06-2013 - 22:48

[ailaiphai]

Bài 13

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC trong đó có điểm A(2;-1), đường phân giác góc B có phương trình x + 2y + 1=0, đường phân giác góc C có phương trình x + y + 3 =0. Tìm phương trình đường BC. 

 

 

Mình chẳng nghĩ ra được hướng giải nào cho hợp lý hết.  Chỉ dùm mình hướng giải nhá. Thanks

[E. Galois]

Bài 10
cho $A(1;0)$ và $(C):x^2+y^2=2$ và $(C'):x^2+y^2=5$ .tìm tọạ Độ $B , C$ lần lượt thuộc $(C)$ và $C'$ để tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất
 

GS $\widehat{AOB}=b;\widehat{AOC}=c$. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}(\sqrt 2 sin b + \sqrt 5 sin c - \sqrt{10}sin (b+c))$

 

 

Bài toán 11
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(1;4)$ và hai đường tròn $(C_1):(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=13 , (C_2): (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ Tìm trên hai đường tròn $(C1), (C2)$ lần lượt 2 điểm $M,N$ sao cho
a) tam giác AMN vuông cân tại A
b, tam giác AMN đều
 

a) Xét hai phép quay tâm $A$, góc quay $90^o$ và $-90^o$. Hãy viết phương trình đường tròn $(C'_1)$ là ảnh của $(C_1)$ qua phép quay. Tìm giao điểm của $(C'_1)$ với $C_2$. Đó là các điểm thuộc $(C_2)$ cần tìm.

 

b) Tương tự, nhưng là góc quay $60^o$ và $-60^o$

[fabregaslf4]

GS $\widehat{AOB}=b;\widehat{AOC}=c$. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}(\sqrt 2 sin b + \sqrt 5 sin c - \sqrt{10}sin (b+c))$

 

 

a) Xét hai phép quay tâm $A$, góc quay $90^o$ và $-90^o$. Hãy viết phương trình đường tròn $(C'_1)$ là ảnh của $(C_1)$ qua phép quay. Tìm giao điểm của $(C'_1)$ với $C_2$. Đó là các điểm thuộc $(C_2)$ cần tìm.

 

b) Tương tự, nhưng là góc quay $60^o$ và $-60^o$

bài 10 : em tìm S max không ra mà S phải bằng $S = \frac{1}{2}(\sqrt 2 sin b + \sqrt 5 sin c -(+) \sqrt{10}sin (b+c))$ em không hiểu tại sao chỉ mình  - \sqrt{10}sin (b+c))$ nếu B,C nằm bên chiều "-" của trục Ox thì phải là + \sqrt{10}sin (b+c))$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fabregaslf4: 29-06-2013 - 23:17