Đến nội dung

Hình ảnh

Nguyên hàm - Tích phân

- - - - - chuyên đề ôn thi đh luyện thi đh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Lý thuyết và bài tập xem ở file đính kèm.

 

Trong topic này, đề nghị các bạn chỉ thảo luận và đặt câu hỏi liên quan tới chuyên đề "Nguyên hàm - Tích phân". Nếu muốn thảo luận về các phần khác, xin vui lòng vào topic của chuyên đề đó. 

 

 

 

 

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN

  • Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
     
  • Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
     
  • Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào... 

    Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
     
  • Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:10

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#2
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
Bài 1. Tính $\int_{-1}^{2}\frac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}dx$
Bài này đặt: $\sqrt[6]{x+1}=t$ Nhưng làm mãi không thấy ra. Mọi người làm cụ thể đến kết quả cuối cùng giúp mình với.

Hai bài này post ở topic tích phân không thấy ở ai trả lời. Đành post vào chuyên đề ôn luyện thi đại học năm 2013 vậy.

BÀi 2. $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\frac{sin^2x(sinx-2x)+x(2cosx+3)}{cosxcos2x-1}dx$

Bài 3. $\int \frac{(xcot^22x-cos^2x)+sinx(cosx-sinx)}{2cos4x+1}dx$

#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Bài 1. Tính $\int_{-1}^{2}\frac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}dx$
Bài này đặt: $\sqrt[6]{x+1}=t$ Nhưng làm mãi không thấy ra. Mọi người làm cụ thể đến kết quả cuối cùng giúp mình với.
 

Bạn cần nói là đã làm đến đâu chứ? Sau khi đặt xong, đổi hàm số sang ẩn t, bạn đã chia đa thức chưa?


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết

Bạn cần nói là đã làm đến đâu chứ? Sau khi đặt xong, đổi hàm số sang ẩn t, bạn đã chia đa thức chưa?

Mình đã chia rồi bạn ạ, Nhưng bậc của đa thức còn lại vẫn cao lắm. Tích phân từng phần thì dài mà đổi biến thì cũng ko được.



#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Mình đã chia rồi bạn ạ, Nhưng bậc của đa thức còn lại vẫn cao lắm. Tích phân từng phần thì dài mà đổi biến thì cũng ko được.

Dài thì có dài nhưng làm sao mà không ra được bạn ? Sau khi đặt ẩn sẽ cần chia đa thức của:

\[\frac{{{t^5}\left( {1 + {t^3}} \right)}}{{1 + {t^2}}} = {t^6} - {t^4} + {t^3} + {t^2} - t - 1 + \frac{{t + 1}}{{1 + {t^2}}}\]

 

Cần ghi nhớ 2 công thức nguyên hàm sau :

\[\boxed{\displaystyle \int {\frac{{tdt}}{{1 + {t^2}}}}  = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + {t^2}} \right) + C \quad (1)}\]

\[\boxed{\displaystyle \int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}  = \arctan t + C \quad (2)}\]

 

Tuy nhiên,với chương trình cải cách hiện nay của BGD thì hàm lượng giác ngược không được sử dụng,nên ở cong thức $(2)$,bạn nên đặt $t=\tan u$ để tính toán.

 

Còn 2 bài kia,mình sử dụng phần mềm tính toán thì không ra kết quả,bạn kiểm tra lại đề nhé !


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết


Dài thì có dài nhưng làm sao mà không ra được bạn ? Sau khi đặt ẩn sẽ cần chia đa thức của:

\[\frac{{{t^5}\left( {1 + {t^3}} \right)}}{{1 + {t^2}}} = {t^6} - {t^4} + {t^3} + {t^2} - t - 1 + \frac{{t + 1}}{{1 + {t^2}}}\]

 

Cần ghi nhớ 2 công thức nguyên hàm sau :

\[\boxed{\displaystyle \int {\frac{{tdt}}{{1 + {t^2}}}}  = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + {t^2}} \right) + C \quad (1)}\]

\[\boxed{\displaystyle \int {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}}  = \arctan t + C \quad (2)}\]

 

Tuy nhiên,với chương trình cải cách hiện nay của BGD thì hàm lượng giác ngược không được sử dụng,nên ở cong thức $(2)$,bạn nên đặt $t=\tan u$ để tính toán.

 

Còn 2 bài kia,mình sử dụng phần mềm tính toán thì không ra kết quả,bạn kiểm tra lại đề nhé !

 

Bạn à, bài 2,3 thì mình ko post nhầm đề đâu. Đây là đề thi trên moon. Bài 2 mình thử lại bằng plus, kết quả là: -3,049341671. Còn bài 3 thì là tích phân bất định, không có cận, không kt lại bằng plus được. Nhưng mình xem lại tài liệu thì đề ko sai bạn à.

 

 



#7
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

BÀi 2. $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\frac{sin^2x(sinx-2x)+x(2cosx+3)}{cosxcos2x-1}dx$
 

Bạn tách tích phân đã cho thành hai tích phân:

$$J=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{sin^3x}{2cos^3x-cosx-1}dx;K=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x.\frac{2cos^2x+2cosx+1}{2cos^3x-cosx-1}dx$$

Đối với $J$, ta đặt $t=cosx$

Đối với $K$, ta tích phân từng phần. Ta gặp nguyên hàm:

$$\int\frac{2cos^2x+2cosx+1}{2cos^3x-cosx-1}dx$$

Đặt $t=tan\frac{x}{2}$.

 

Nhận xét:

- Cách làm như vậy là cách làm "trâu bò". Tức là chưa có sáng tạo, cứ cậy sức mà làm. Hi vọng các bạn có cách làm sáng tạo hơn


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#8
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Bài 3 với cách làm nặng nề:

 

$I=\int \frac{x\cot^22x}{2\cos 4x+1}dx+\int\frac{\sin x\cos x-1}{2\cos 4x+1}dx=I_1+I_2$

 

Tính $I_1$ bằng từng phần:

 

$\left\{\begin{matrix}
u=x\\ \\dv=\frac{\sin ^22x}{\cos ^22x(2cos 4x+1)}dx

\end{matrix}\right.\to \left\{\begin{matrix}
du=dx\\ \\v=\frac{3}{2\cos 4x+1}-\frac{2}{cos 4x+1}

\end{matrix}\right.$

 

Tính $I_2$

 

$I_2=\frac{1}{2}\int\frac{\sin 2x-2}{2\cos 4x+1}dx=\frac{1}{8\sqrt3}\int\left ( \frac{4-\sqrt3}{\sqrt3-2\sin 2x}+\frac{4+\sqrt3}{\sqrt3+2\sin2x} \right )dx$

 

Về nguyên tắc, tích phân $\int \frac{dx}{a\sin x+b},\int \frac{dx}{a\cos x+b}$ đều tính được dễ! :icon6:

 

CD13 không nghĩ bài 3 lại có lời giải phức tạp này!



#9
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
Bài 4
$\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$

Bài 5 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[5]{(1+x^5)^6}}$

@trangxoai1995: Em nhớ đánh số các bài toán nhé!
(E.Galois)

#10
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

b) $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[5]{(1+x^5)^6}}$

Khi gặp tích phân kiểu $\displaystyle{\int x^r\left(ax^s+b\right)^t dx}$ với $r;\;s;\;t\in\mathbb{Q}$ hãy chú ý đến kết quả  của Chebyshev.

Định lý Chebyshev: Nguyên hàm $\displaystyle{\int x^r\left(ax^s+b\right)^t dx}$ với $r;\;s;\;t\in\mathbb Q$ biểu diễn hữu hạn qua lớp các hàm sơ cấp khi và chỉ khi một trong ba số $t;\;\dfrac{r+1}{s};\;t+\dfrac{r+1}{s}$ là số nguyên. Để hữu tỷ hóa loại nguyên hàm này trong ba trường hợp đó ta cần nhớ:

Nếu $t\in\mathbb{Z}$ thì đặt $x=u^m$ với $m$ là mẫu số chung của $r$ và $s.$
Nếu $\dfrac{r+1}{s}\in\mathbb{Z}$ thì đặt $ax^s+b=u^M$ với $M$ là mẫu số của $t$.
Nếu $t+\dfrac{r+1}{s}\in\mathbb{Z}$ thì đặt $a+bx^{-s}=u^M$ với $M$ là mẫu số của $t$.

 

Ở đây $r=0;s=5;t=\frac{6}{5}$

$r+\frac{1}{s}+t \in \mathbb{Z}$ tới đây sử dụng kết quả 3 là được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-06-2013 - 21:57

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#11
quit_maple

quit_maple

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài 6: Tính tích phân I = $\int_{1}^{e}\frac{lnx-1}{x^2-ln^2x}dx$

@quit_maple: Bạn nhớ đánh số cho bài toán nhé!
(leminhansp)

Bạn tách tích phân đã cho thành hai tích phân:
$$J=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{sin^3x}{2cos^3x-cosx-1}dx;K=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x.\frac{2cos^2x+2cosx+1}{2cos^3x-cosx-1}dx$$
Đối với $J$, ta đặt $t=cosx$
Đối với $K$, ta tích phân từng phần. Ta gặp nguyên hàm:
$$\int\frac{2cos^2x+2cosx+1}{2cos^3x-cosx-1}dx$$
Đặt $t=tan\frac{x}{2}$.

Nhận xét:
- Cách làm như vậy là cách làm "trâu bò". Tức là chưa có sáng tạo, cứ cậy sức mà làm. Hi vọng các bạn có cách làm sáng tạo hơn


Rút gọn K được như sau bạn ơi :

$K=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x.\frac{2cos^2x+2cosx+1}{2cos^3x-cosx-1}dx$ $=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{x}{cosx-1}dx$ $=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{x}{2sin^2\frac{x}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2013 - 07:14
Đánh số cho bài toán


#12
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Bài 7:$\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{3})\sqrt[3]{1+x^{3}}}dx$



#13
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 7:$\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{3})\sqrt[3]{1+x^{3}}}dx$

Bạn có thể xem 1 bài tương tự ở đây,từ đó ta có thể giải tổng quát cho mũ $n$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết

Mọi người giúp mình câu tích phân này với. Mình vẫn chưa làm được.
Bài 8: $\int_{0}^{1}\frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx$


Bài 9: $\int_{\frac{\pi }{4}}^\frac{\pi }{2}\frac{\sqrt{sin3x+sinx}}{sin5x-5sin3x+10sinx}dx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trangxoai1995: 19-06-2013 - 16:40


#15
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Mọi người giúp mình câu tích phân này với. Mình vẫn chưa làm được.
Bài 8: $\int_{0}^{1}\frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx$

 

 

Nhân cả tử và mẫu với $e^x$. Sau đó đặt $t=xe^x+1$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#16
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết

Nhân cả tử và mẫu với $e^x$. Sau đó đặt $t=xe^x+1$

Bài này hôm qua em làm ra rồi anh ạ, anh nghĩ câu 4, câu 6, câu 9 giúp em với. Các câu đó chắc em tịt.

Một số bài toán chưa có lời giải trong chuyên mục đạo hàm, tích phân:
Bài 10: $\int_{1}^{e}\frac{2lnx+ln^2x}{x^2+xlnx}dx$
Bài 11 $\int \frac{sinxcos2x}{cos5x}dx$


Bài 12: $\int x\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}dx$
Bài 13: $\int \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2013 - 07:15


#17
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Bài 4
$\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$

Bài 5 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[5]{(1+x^5)^6}}$

@trangxoai1995: Em nhớ đánh số các bài toán nhé!
(E.Galois)

Ko biết ac nào làm chưa?? e lm thử

Bài 4
$\int_{1}^{e}\frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx$
$\int \frac{ln^2x+lnx}{(lnx+x+1)^3}dx=\int \frac{lnx}{(lnx+1)^2(1+\frac{x}{lnx+1})}dx=\int \frac{1}{(1+\frac{x}{lnx+1})^3}d(\frac{x}{lnx+1})$
xong...

Câu 5 tông quát:
$\int\frac{1}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}=\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^n}}+C$
.....


Bài 9:
$\int_{\frac{\pi }{4}}^\frac{\pi }{2}\frac{\sqrt{sin3x+sinx}}{sin5x-5sin3x+10sinx}dx$

$\sin3x+\sinx=2 \sin2x cosx=4sinx .cos^2x\to \sqrt{sin3x+sinx}=2\sqrt{sinx}cosx$
$sin5x-5sin3x+10sinx=16sin^5x$
nen: $\int\frac{\sqrt{sin3x+sinx}}{sin5x-5sin3x+10sinx}dx=\int \frac{\sqrt{sinx}}{16sin^5x}d(sinx)=....$
xong...

Bài 12:
$t=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\to x=\frac{2+t^2}{1-t^2}\to dx=\frac{6t}{(t^2-1)^2}dt$
nen : $\int x\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}dx=\int \frac{2+t^2}{1-t^2}.t.\frac{6t}{(1-t^2)^2}dt=\int \frac{6t^2(2+t^2)}{(1-t^2)^3}dt$
ta phan tich: $\frac{6t^2(2+t^2)}{(t^2-1)^3}=\frac{6t^2}{(t^2-1)^2}+\frac{18}{(t^2-1)^2}+\frac{18}{(t^2-1)^3}=\frac{3}{2}[\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t-1}]^2+\frac{9}{2}[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}]^2+\frac{18}{(t^3-1)^3}$
$\frac{8}{(t^2-1)^3}=[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}]^3=(\frac{1}{t-1})^3+(\frac{1}{t+1})^3+\frac{6t}{(t^2-1)^2}$
Ok....

cau 13 ban ghi sai de khong nhi?? minh nghi de dung la: $I=\int \sqrt{\frac{x}{x^3+1}}dx$

Bài 13: $\int \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}dx$



Câu 11: $\int \frac{sinxcos2x}{cos5x}dx=\int \frac{sin2xcos2x}{cos4x+cos6x}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{cos2x}{(cos2x+1)(cos2x-\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cos2x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})}d(cos2x)$
Bạn phân tích ra là được:
$\frac{x}{(x+a)(x+b)(x+c)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}$

Bài 6: Tính tích phân I = $\int_{1}^{e}\frac{lnx-1}{x^2-ln^2x}dx$
Bạn có thể làm như thế này: $\int\frac{lnx-1}{x^2-ln^2x}dx=\int \frac{1}{1-(\frac{ln}{x})^2}.\frac{lnx-1}{x^2}dx=\int\frac{1}{1-(\frac{ln}{x})^2}d(\frac{lnx}{x}) =....$

Xong....

Tặng mọi người 1 câu
Câu 14:
$I=\int tanx.\tan2x.\tan4xdx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-06-2013 - 07:18

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#18
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết

Câu 14:
 XIN LỖI MỌI NGƯỜI, CÂU 14 CÁCH LÀM CÓ MỘT CHÚT NHẦM LẪN, MÌNH XIN CHỈNH LÝ LẠI NHƯ SAU:
$I=\int tanx.\tan2x.\tan4xdx$[/quote]
Đặt: $tanx=t\Rightarrow dx=\frac{1}{1+t^2}dt$

$\left\{\begin{matrix} sin2x=\frac{2t}{1+t^2} & & \\ cos2x=\frac{1-t^2}{1+1^2} & & \\ tan2x=\frac{2t}{1-t^2} & & \end{matrix}\right.$

$tan4x=\frac{4t(1-t^2)}{t^4-6t^2+1}$

$\Rightarrow I=\int tanx.tan2x.tan4xdx=\int t.\frac{2t}{1-t^2}.\frac{4t(1-t^2)}{t^4-6t^2+1}.\frac{1}{1+t^2}dt=\int \frac{8t^3}{(1+t^2)(1-6t^2+t^4)}dt$

Đặt: $t^2=y\Rightarrow tdt=\frac{1}{2}dy$. Thu được tích phân mới:

$I=\int \frac{4y}{(1+y)(1-6y+y^2)}dy$

$=\frac{1}{2}\int \frac{y+1}{y^2-6y+1}dy-\frac{1}{2}\int \frac{1}{y+1}dy$.

Xét tích phân: $\frac{1}{2}\int \frac{y+1}{y^2-6y+1}dy=\frac{1}{2}\int \frac{y-3+4}{y^2-6y+1}dy=\frac{1}{2}\int \frac{y-3}{y^2-6y+1}dy+2\int \frac{1}{y^2-6y+1}dy=\frac{1}{4}\int \frac{1}{(y^2-6y+1)}d(y^2-6y+1)+2\int \frac{1}{y^2-6y+1}dy$

Tính tiếp tích phân: $2\int\frac{1}{y^2-6y+1}dy=-2\int \frac{1}{8-(y-3)^2}dy$. Đặt: $y-3=2\sqrt{2}sinu\Rightarrow dy=2\sqrt{2}cosu$. Ta thu được tích phân mới: $\frac{-\sqrt{2}}{4}\int \frac{1}{cosu}du$ (tích phân này tính được.

 

Còn bạn tính nốt tích phân này nhé: $\frac{1}{2}\int \frac{1}{y+1}dy$. Đến đây chắc ổn. Mọi người xem có chỗ nào sai sót chỉ giúp mình với nhé.

Câu 15: $\int \frac{x}{1-x^4}ln\left ( \frac{3-x^2}{2} \right )dx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trangxoai1995: 28-06-2013 - 09:59


#19
trangxoai1995

trangxoai1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 468 Bài viết

Câu 16: $\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x+x^2+\sqrt{x^4+3x^2+1}}dx$



#20
bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Bài 17

$\int_{0}^{\pi /2}\frac{2sin^{2}x.(x+sinx)+sin2x.(1+sin^{2}x)}{( 1 + cosx)^{2}}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chuyên đề, ôn thi đh, luyện thi đh

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh