Bài 9 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
1)$f(2)=2$
2)$f(mn)=f(m)f(n)$
3)$f(n+1)\geq f(n)$
Bài giải :
Từ $(2)$ bằng qui nạp chứng minh được $f(n^k)=(f(n))^k$ với $k \in \mathbb{N}$ và $k \geq 2$
Dễ có $f(2^k)=(f(2))^k=2^k$
Cho $m=1$ có $f(m)=f(m)f(1) \Rightarrow f(1)=1$
Từ $(3)$ giả sử $f(n+1)=f(n)$ với $n \geq 2$
Ta có $f((n+1)^t)=(f(n+1))^t=(f(n))^t=f(n^t) \Rightarrow f(m)=c, (n+1)^t \geq m \geq n^t$ $(*)$
Ta thấy tồn tại $c,t$ thỏa $(n+1)^t >2^{c+1}>2^c>n^t$ mà $2^{c+1}=f(2^{c+1}) \neq f(2^c)=2^c$ mâu thuẫn với $(*)$
Vậy $f(n+1)>f(n)$ $(**)$
Ta có $f(2^{k+1})-f(2^k)=2^{k+1}-2^k$ nên theo $(**) \Rightarrow f(n)=n$ với $2^{k+1} \geq n \geq 2^k$
Từ đó chứng minh được $f(n)=n$ với $n \in \mathbb{Z^+}$
Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(n)=n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 19-05-2013 - 18:16
.
