Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ với $abc=1$ và $1 \le c \le 10$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tranthihaianh

tranthihaianh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Cho a,b,c dương $abc=1  ;1 \le  c \le 10$ tìm max của biểu thức

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2013 - 18:07


#2
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết


Cho a,b,c dương $abc=1  ;1 \le  c \le 10$ tìm max của biểu thức

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$

 

Đặt : $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$

 

Do $abc=1$ và $1 \leq c \leq 10$ nên $ab \leq 1$

 

Bổ đề : Với mọi $ab \leq 1$ ta luôn có : 

$$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$$

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có :

$$P \leq \frac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1}{c+1}= f \left( c \right)$$

Đến đây ta khảo sát hàm $f \left( c \right)$ trên $\left [1;10 \right]$.

$$f' \left( c \right)=\frac{1}{\sqrt{c}+2c+c\sqrt{c}}-\frac{1}{c^2+2c+1}$$

Mặt khác do $\sqrt{c}+2c+c\sqrt{c}-c^2-2c-1=\left ( c\sqrt{c}-1 \right )\left ( 1-\sqrt{c} \right )\leq 0$ $\forall c \in \left [ 1;10 \right ]$ nên $f \left( c \right)$  là hàm đồng biến.

Như vậy ta suy ra được : $f \left( c \right) \leq f \left( 10 \right)=\dfrac{20-2\sqrt{10}}{9}+\dfrac{1}{11}$

Vậy $P_{\max}=\dfrac{20-2\sqrt{10}}{9}+\dfrac{1}{11}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkkk: 21-05-2013 - 10:03

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh