Cho a,b,c dương $abc=1 ;1 \le c \le 10$ tìm max của biểu thức
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2013 - 18:07
Cho a,b,c dương $abc=1 ;1 \le c \le 10$ tìm max của biểu thức
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2013 - 18:07
Cho a,b,c dương $abc=1 ;1 \le c \le 10$ tìm max của biểu thức
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$
Đặt : $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$
Do $abc=1$ và $1 \leq c \leq 10$ nên $ab \leq 1$
Bổ đề : Với mọi $ab \leq 1$ ta luôn có :
$$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$$
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có :
$$P \leq \frac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1}{c+1}= f \left( c \right)$$
Đến đây ta khảo sát hàm $f \left( c \right)$ trên $\left [1;10 \right]$.
$$f' \left( c \right)=\frac{1}{\sqrt{c}+2c+c\sqrt{c}}-\frac{1}{c^2+2c+1}$$
Mặt khác do $\sqrt{c}+2c+c\sqrt{c}-c^2-2c-1=\left ( c\sqrt{c}-1 \right )\left ( 1-\sqrt{c} \right )\leq 0$ $\forall c \in \left [ 1;10 \right ]$ nên $f \left( c \right)$ là hàm đồng biến.
Như vậy ta suy ra được : $f \left( c \right) \leq f \left( 10 \right)=\dfrac{20-2\sqrt{10}}{9}+\dfrac{1}{11}$
Vậy $P_{\max}=\dfrac{20-2\sqrt{10}}{9}+\dfrac{1}{11}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkkk: 21-05-2013 - 10:03
A2K40-er
My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh