Chủ đề này có 2 trả lời

[trangxoai1995]

Chứng minh rằng số phức sau là số thực: $z=\left ( \frac{19+7i}{9-i} \right )^n+\left ( \frac{20+5i}{7+6i} \right )^n$

 

[25 minutes]

Chứng minh rằng số phức sau là số thực: $z=\left ( \frac{19+7i}{9-i} \right )^n+\left ( \frac{20+5i}{7+6i} \right )^n$

Ta có $z=\left [ \frac{(17+9i)(9+i)}{9^2-i^2} \right ]^n+\left [ \frac{(20+5i)(7-6i)}{7^2-36i^2} \right ]^n$

  $\Rightarrow z=(2+i)^n+(2-i)^2$

Ta có $(2+i)^n=\sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{n}^{k}i^k.2^{n-k}$

          $(2-i)^n=\sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{n}^{k}(-i)^k.2^{n-k}$

   $\Rightarrow z= \sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{n}^{k}i^k.2^{n-k}+ \sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{n}^{k}(-i)^k.2^{n-k}$

Nhận xét : Với $m \in N$ thì ta luôn có  

                     $\left\{\begin{matrix} i^{4m+2}=-1\\i^{4m}=1 \\ i^{4m+3}=-i \\i^{4m+1}=i \end{matrix}\right.$

Thay vào nhị thức ta dễ dàng chứng minh được $z$ là số nguyên

[PT42]

Điều kiện : n $\epsilon \mathbb{N}$

Đặt $u_{n}$ = $(\frac{19+ 7i}{9-i})^{n} + (\frac{20+5i}{7+6i})^{n}$

 có $u_{n} =$ $(\frac{(19+7i)(9+i)}{(9-i)(9+i)})^{n} + (\frac{(20+5i)(7-6i)}{(7+6i)(7-6i)})^{n}$ = $(2+i)^{n} + (2-i)^{n}$

 

Vì 2 + i và 2 - i là nghiệm của phương trình $X^{2} - 4X + 5 = 0$

nên $(2 + i)^{2} - 4(2+i)+ 5 = 0$ $\Rightarrow$ $(2+i) ^{n+2} - 4(2+i)^{n+1}+ 5 ( 2+i)^{n} = 0$

và  $(2-i) ^{2} - 4(2-i)+ 5 = 0$  $\Rightarrow$ $(2-i) ^{n+2} - 4(2 - i)^{n+1}+ 5 ( 2 - i)^{n} = 0$

$\Rightarrow$ $u_{n+2}- 4 u_{n+1} + 5u_{n} = 0$ $\Rightarrow$ $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 5u_{n}$

vì $u_{0} = 2$, $u_{1} = 4$ nên dùng quy nạp suy ra $u_{n}\epsilon \mathbb{Z}$ $\forall n\epsilon \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 05-06-2013 - 08:43