Chủ đề này có 2 trả lời

[namcpnh]

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 20-05-2013 - 06:23

[bachhammer]

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

Ta có lời giải như sau:

Thay x bởi 2x vào 1) ta có $f(2x)=2xf(\frac{1}{2x})$.

Thay x=y vào 2) ta được $f(2x)=2f(x)+1\Leftrightarrow 2xf(\frac{1}{2x})=2f(x)+1$.

Thay x,y bởi 1/2x ta được $f(\frac{1}{x})=2f(\frac{1}{2x})+1\Leftrightarrow \frac{1}{x}f(x)=2f(\frac{1}{2x})+1$.

Như vậy ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2f(x)-2xf(\frac{1}{2x})=-1\\\frac{1}{x}f(x)-2f(\frac{1}{2x})=1 \end{matrix}\right.$.

Nhân 2 vế phương trình sau với x rồi lấy phương trình đầu trừ cho phương trình sau theo vế ta được f(x)=-x-1. Thử lại thấy thoả.

Kết luận:f(x)=-x-1.   (có jì sai nhớ nói jùm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 20-05-2013 - 10:02

[Idie9xx]

Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :

1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$

2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$

Từ $(2)$ thay $x,y$ bằng $\dfrac{1}{2x}$ kết hợp với $(1)$ có:

$f\left ( \dfrac{1}{x} \right )=2f\left ( \dfrac{1}{2x} \right )+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}f(x)=2 \cdot \dfrac{1}{2x}f(2x)+1$

$\Leftrightarrow f(x)=f(2x)+x\Leftrightarrow f(x)=2f(x)+1+x\Leftrightarrow f(x)=-x-1$

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=-x-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 20-05-2013 - 14:24