Đến nội dung


Hình ảnh

$(f(x))^2=f(x+y).f(x-y)$

100 bài hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-05-2013 - 06:28

Bài 12 : Tìm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa $(f(x))^2=f(x+y).f(x-y)$

 

Giải : 

 

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=f(2x)f(0) \Rightarrow f(2x)f(0)=f(x+y)f(x-y)$

Đặt $f(x)=g(x)f(0),u=x+y,v=x-y$ có $g(u+v)=g(u)g(v)$ ( hàm cauchy )

Dễ thấy $u,v \in \mathbb{R}$ kết hợp với $g$ liên tục do $f$ liên tục.

Ta được hai hàm $g(x)=0$ hoặc $g(x)=a^x,a>0 \Rightarrow f(x)=k \cdot a^x$ ( với $k=f(0)$ )

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=k \cdot a^x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-06-2013 - 18:13

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 20-05-2013 - 19:10

Bài 12 : Tìm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa $(f(x))^2=f(x+y).f(x-y)$

Cho $x=y$ có $(f(x))^2=f(2x)f(0) \Rightarrow f(2x)f(0)=f(x+y)f(x-y)$

Đặt $f(x)=g(x)f(0),u=x+y,v=x-y$ có $g(u+v)=g(u)g(v)$ ( hàm cauchy )

Dễ thấy $u,v \in \mathbb{R}$ kết hợp với $g$ liên tục do $f$ liên tục.

Ta được hai hàm $g(x)=0$ hoặc $g(x)=a^x,a>0 \Rightarrow f(x)=k \cdot a^x$ ( với $k=f(0)$ )

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=k \cdot a^x$ :lol:


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 27-05-2013 - 14:34

Bài 12 : Tìm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa $(f(x))^2=f(x+y).f(x-y)$

em làm thế này được không anh Nam:

$\boxed{\text{Solution}}$

- $(f(x))^{2}=f(x+y)f(x-y)$ <=> $(f(x))^{4}=f(x+y)^{2}.f(x-y)^{2}=f(x+2y).f(x).f(x).f(x-2y)=f(x+2y).f(x-2y).(f(x))^{2}$ (1)

 

* Nếu $f(x)=0$ thì thỏa 

 

* Nếu $f(x)\neq 0$ thì (1)<=> $(f(x))^{2}=f(x+2y).f(x-2y)$

 

Cùng với pt ban đầu ta suy ra: $f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)$

 

- Tương tự như thế ta sẽ được:

$f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)=f(x+3y).f(x-3y)=...=f(x+ny).f(x-ny)=c$

 

c=const

 Cho $y=0$ => $(f(x))^{2}=c$ <=> $f(x)=\pm c$

* Thử lại thỏa mãn

p/s: hình như hơi khác đáp số với bạn idexx  :unsure: 


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#4 maxolo

maxolo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Đã gửi 27-05-2013 - 18:21

em làm thế này được không anh Nam:

$\boxed{\text{Solution}}$

- $(f(x))^{2}=f(x+y)f(x-y)$ <=> $(f(x))^{4}=f(x+y)^{2}.f(x-y)^{2}=f(x+2y).f(x).f(x).f(x-2y)=f(x+2y).f(x-2y).(f(x))^{2}$ (1)

 

* Nếu $f(x)=0$ thì thỏa 

 

* Nếu $f(x)\neq 0$ thì (1)<=> $(f(x))^{2}=f(x+2y).f(x-2y)$

 

Cùng với pt ban đầu ta suy ra: $f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)$

 

- Tương tự như thế ta sẽ được:

$f(x+y).f(x-y)=f(x+2y).f(x-2y)=f(x+3y).f(x-3y)=...=f(x+ny).f(x-ny)=c$

 

c=const

 Cho $y=0$ => $(f(x))^{2}=c$ <=> $f(x)=\pm c$

* Thử lại thỏa mãn

p/s: hình như hơi khác đáp số với bạn idexx  :unsure: 

 

Phương trình (1) của bạn không cần thiết. Có thể thay $y$ bởi $2y$ vào ngay phương trình ban đầu để có

$$f(x)^2 = f(x+2y)\cdot f(x-2y)$$

Vì phương trình đúng với mọi $x,y$ nên thay $y$ bởi $2y$ nó vẫn đúng.

 

Bạn suy luận $f(x)^2$ là hằng số là không ổn. Vì bạn cho $ny$ thay đổi, nhưng $x$ vẫn giữ nguyên, nên "hằng số" của bạn phụ thuộc vào $x$.

 

Hiển nhiên bạn có thể kiểm tra hàm số của idexx đưa ra thỏa mãn phương trình.

 

Bạn có thể làm như sau cho đơn giản hơn chút.

 

Bước 1, lập luận rằng nếu $f=0$ tại 1 giá trị nào đó thì $f=0$ tại mọi nơi nên ta có $f=0$.

 

Bước 2, nếu $f$ khác $0$ tại mọi nơi thì $f>0$ hoặc $f<0$. Lấy $g=\ln f$ thì $g$ thỏa mãn

$$2g(x) = g(x+y) + g(x-y)$$

Hoặc

$$g\left(\frac{u+v}{2}\right) = \frac{g(u)+g(v)}{2}$$

Vậy, hàm liên tục $g$ vừa lồi vừa lõm nên phải là hàm bậc nhất: $g(x) = ax +b$ (hoặc hằng số, trong trường hợp $a=0$).

 

Cuối cùng $f(x) = e^{g(x)} = A e^{ax}$ với $A = e^b$.
 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100 bài hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh