Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$
#1
Đã gửi 21-05-2013 - 07:13
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 21-05-2013 - 14:49
Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$ $(*)$
Cho $a=2014$. Thay $n$ bằng $b+f(n)$ vào $(*)$ ta có:
$f(m+f(b+f(n)))=b+f(n)+f(m+a)$ và
$f(m+f(b+f(n)))=f(m+n+f(b+a))=b+a+f(m+n+a)$
$\Rightarrow f(m+n+a)+a=f(n)+f(m+a)$
Bằng qui nạp ta chứng minh được $f(m+n+a)+na=nf(1)+f(m+a)$
$\Rightarrow f(n)=nf(1)-(n-1)a$
Thay vào $(*)$ tìm được $f(1)=a+1 \Rightarrow f(n)=n+a$
Vậy hàm thỏa đề là $f(n)=n+2014$
- Sagittarius912, vuminhhoang, kb1212 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 21-05-2013 - 19:22
Cho $a=2014$. Thay $n$ bằng $b+f(n)$ vào $(*)$ ta có:
$f(m+f(b+f(n)))=b+f(n)+f(m+a)$ và
$f(m+f(b+f(n)))=f(m+n+f(b+a))=b+a+f(m+n+a)$
$\Rightarrow f(m+n+a)+a=f(n)+f(m+a)$
Bằng qui nạp ta chứng minh được $f(m+n+a)+na=nf(1)+f(m+a)$
$\Rightarrow f(n)=nf(1)-(n-1)a$
Thay vào $(*)$ tìm được $f(1)=a+1 \Rightarrow f(n)=n+a$
Vậy hàm thỏa đề là $f(n)=n+2014$
tại sao bạn lại nghĩ ra được cách đặt như vậ
#4
Đã gửi 28-05-2013 - 15:17
Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$
theo mình nghĩ bạn idexx dùng pp thêm biến.....
$\boxed{\text{Second Solutions}}$
-- Dễ dàng chứng minh được f đơn ánh
-- Cho $n=1$ => $f(f(1)+m)=1+f(m+2014)$
-- Thay m bởi $f(n)$ suy ra:
$f(f(1)+f(n))=1+f(f(n)+2014)=n+1+f(2014+2014)=f(2014+f(n+1))$
Do đơn ánh => $f(1)+f(n)=2014+f(n+1)=>f(n)-f(n-1)=a-2014$ ($a=f(1)$)
Từ đó ta có:
- $f(2)-f(1)=a-2014$
-
$f(3)-f(2)=a-2014$
-
$f(4)-f(3)=a-2014$
........
- $f(n)-f(n-1)=a-2014$
=> $f(n)-f(1)=(n-1)(a-2014)<=> f(n)=(a-2014)n+2014=bn+2014 $ ($b=a-2014$)
-- Thế lại pt hàm ban đầu để tìm b => $b=1$ (loại TH $b=-1$ do f nguyên dương)
Suy ra $f(n)=n+2014$
* Thử lại thấy đúng
$\boxed{{KL}}$ $f(n)=n+2014$
-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh