Chủ đề này có 6 trả lời

[namcpnh]

Bài 14 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$

[Idie9xx]

Bài 14 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$

Ta có $f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))=-f(y^2-x^2)$ vậy $f$ là hàm lẻ.

 Thay $y$ bằng $-y$ có $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)-f(-y))=(x-y)(f(x)+f(y))$

$\Rightarrow (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$

$\Leftrightarrow (x+y)f(x)-(x-y)f(x)=(x-y)f(y)+(x+y)f(y)\Rightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{f(y)}{y}$

$\Rightarrow f(x)=c\cdot x$ ( $c$ là hằng số ) (thỏa)

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=c\cdot x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 16:09

[vuminhhoang]

cho $y=0$ ta có $f(x^2)=xf(x) = -xf(-x) \Rightarrow f(x) = -f(-x) \Rightarrow f$ là hàm lẻ.

 

$\forall x > 0 \Rightarrow f(x^2)=xf(x)=x\sqrt{x}f(\sqrt{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}f(\sqrt[4]{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}...\sqrt[2^n]{x}.f(\sqrt[2^n]{x})$

 

$\Rightarrow  f(x^2)=x^2f(1) \Rightarrow f(x)=xf(1)=ax$ $(2)$ ($a \in R$ tuỳ ý)

 

với $x < 0$ tương tự vậy ta cũng có $(2)$

 

Thử lại ta có $f(x)=ax$ là hàm cần tìm

 

[chỗ latex kia là căn bậc $2^n$ nhé. mình không hiểu sao lại ko hiện tex được]

@mod: Không nên dùng hai dấu $ cùng lúc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 21:05

[Idie9xx]

cho $y=0$ ta có $f(x^2)=xf(x) = -xf(-x) \Rightarrow f(x) = -f(-x) \Rightarrow f$ là hàm lẻ.

 

$\forall x > 0 \Rightarrow f(x^2)=xf(x)=x\sqrt{x}f(\sqrt{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}f(\sqrt[4]{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}...\sqrt[2^n]{x}.f(\sqrt[2^n]{x})$

 

$\Rightarrow  f(x^2)=x^2f(1) \Rightarrow f(x)=xf(1)=ax$ $(2)$ ($a \in R$ tuỳ ý)

 

với $x < 0$ tương tự vậy ta cũng có $(2)$

 

Thử lại ta có $f(x)=ax$ là hàm cần tìm

 

[chỗ latex kia là căn bậc $2^n$ nhé. mình không hiểu sao lại ko hiện tex được]

@mod: Không nên dùng hai dấu $ cùng lúc.

Có điều kiện liên tục chưa mà $\Rightarrow f(x^2)=x^2f(1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 21:29

[vuminhhoang]

 

Có điều kiện liên tục chưa mà $\Rightarrow f(x^2)=x^2f(1)$

liện tục gì ợ. mình thấy chỗ kia có nhất thiết hàm phải lt đâu nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 21-05-2013 - 21:33

[Idie9xx]

liện tục gì ợ. mình thấy chỗ kia có nhất thiết hàm phải lt đâu nhỉ 

Cái $f(\sqrt[2^n]{x})=f(1)$ cần phải có liên tục vì $\sqrt[2^n]{x} \neq 1$. Mà nhắc đến liên tục là lại nhớ đến mấy bài trước đây mình chứng minh hàm liên tục

[thukilop]

Bài 14 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$

Em dựa vào bài này để đưa ra hướng giải quyết bài toán  : http://diendantoanho...y-yfx/?p=420974

$\boxed{\text{Solutions}}$

 

- Cho $x=y=0$ => $f(0)=0$

 

- Cho y thành $-y$ => $f(x^{2}-y^{2})=(x-y)(f(x)-f(-y))$ (1)

 

- Cho x thành $ -x$ => $f(x^{2}-y^{2})=(-x+y)(f(-x)-f(y))=(x-y)(f(y)-f(-x))$ (2)

 

-Từ (1) và (2) => $f(x)-f(-y)=f(y)-f(-x)<=> f(x)+f(-x)=f(y)+f(-y)=c=const$ 

 

+ Thay $x=0$ => $c=0$ => $f(-x)=-f(x)$ => f lẻ

 

- Khi ấy (1) <=> $f(x^{2}-y^{2})=(x-y)(f(x)+f(y))$

 

Kết hợp với hàm ban đầu => $(x+y)(f(x))-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$ <=> $\frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}= t$ => $f(x)= t.x$ (t=const)

* Thử lại thấy đúng

KL: $f(x)=t.x$ là hàm cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 25-05-2013 - 15:32