Đến nội dung

Hình ảnh

JUNIOR BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Năm 1997
Belgrad, Yugoslavia

Bài 1:
Chứng minh rằng với mọi $9$ điểm nằm trong hình vuông đơn vị luôn có thể chọn ra $3$ điểm thỏa mãn tam giác tạo bởi $3$ điểm đó có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{8}$

Bài 2:
Đặt $k=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$. Biểu diễn biểu thức sau theo $k$
$E\(x,y\)=\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}+\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}$

Bài 3:
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $N,M$ là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Các đường thẳng $BI,CI$ cắt $MN$ tại $K,L$. Chứng minh rằng:
$AI+BI+CI>BC+KL$

Bài 4:
Xác địng dạng của tam giác $ABC$ với các cạnh $a,b,c$ bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ thỏa mãn:
$R\(b+c\)=a\sqrt{bc}$

Bài 5:
$n_1,n_2,...,n_1998$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$n_1^2+n_2^2+...+n_{1997}^2=n_{1998}^2$
Chứng minh rằng ít nhất hai trong các số đã cho là số chẵn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-05-2009 - 18:13

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Năm 1998
Athens, Greece

Bài 1:
Chứng minh rằng số $11...122...2$ (chứa $1997$ chữ số $1$ và $1998$ chữ số $2$) là số chính phương.

Bài 2:
$ABCDE$ là ngũ giác lồi thỏa mãn $AB=AE=CD=1$, $\hat{ABC}=\hat{DEA}=\dfrac{\pi}{2}$ và $BC+DE=1$. Tính diện tích của ngũ giác.

Bài 3:
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\(x,y\)$ thỏa mãn:
$x^y=y^{x-y}$

Bài 4:
Tồn tại hay không $16$ số có ba chữ số, mà không có số nào chứa hai chữ số giống nhau, chứng minh rằng mọi số đã cho đều phân biệt theo modul $16$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-05-2009 - 18:14

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#3
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Nam 1999
Plovdiv, Bulgaria

Bài 1:
$a,b,c,x,y $ là các số thực thỏa mãn $x^3+ax+y=0 $ , $b^3+bx+y=0 $ và $c^3+cx+y=0 $ . Nếu $a,b,c $ là các số phân biệt, chứng minh rằng tổng của chúng bằng $0 $

Bài 2:
Với mỗi số nguyên dương $n $ ta xác định $A_n=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$. Tìm ước chung lớn nhất của các số $A_0,A_1,...,A_{1999} $

Bài 3:
$S $ là hình vuông cạnh $20 $ và $M $ là tập hợp các điểm gồm các đỉnh của hình vuông $S $ và $1999 $ điểm khác nằm trong $S $ . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh nằm trong $M $ mà diện tích không vượt quá $\dfrac{1}{10} $

Bài 4:
Tam giác $ABC $ cân tại $A $ . $D $ là một điểm trên cạnh $BC $ thỏa mãn $BC>BD>DC $ . Gọi $C_1,C_2 $ là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABD,ACD $ . $BB',CC' $ là các đường kính của các đường tròn đó . Gọi $M $ là trung điểm của $B'C' $ . Chứng minh rằng diện tích tam giác $MBC $ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $D $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-05-2009 - 18:16

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#4
chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
Năm 1997:

Bài 1: http://diendantoanho...?showtopic=9750

Bài 2: http://diendantoanho...?showtopic=9751

Bài 3: http://diendantoanho...?showtopic=9753

Bài 4: http://diendantoanho...?showtopic=9754

Bài 5: http://diendantoanho...?showtopic=9755

Năm 1998:


Bài 1: http://diendantoanho...?showtopic=9756

Bài 2: http://diendantoanho...?showtopic=9757

Bài 3: http://diendantoanho...?showtopic=9758

Bài 4: http://diendantoanho...?showtopic=9759

Năm 1999:

Bài 1: http://diendantoanho...?showtopic=9765

Bài 2: http://diendantoanho...?showtopic=9766

Bài 3: http://diendantoanho...?showtopic=9767

Bài 4: http://diendantoanho...?showtopic=9768
The only way to learn mathematics is to do mathematics




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh