Đến nội dung


Hình ảnh

$f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 18:45

Bài 15 : Xây dựng 1 hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:23

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 22-05-2013 - 19:55

Bài 15 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$

Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.

Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$

Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$

Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.

Vậy không có hàm nào thỏa đề :)

------------

Hai dòng cuối sai nhé :)) ta cứ làm theo cách mà ntuan5 nói ở dưới :B):


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 06:50

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 19:57

Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.

Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$

Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$

Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.

Vậy không có hàm nào thỏa đề :)

 

 

Bài này có nghiệm Idie9xx ơi.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 ntuan5

ntuan5

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2013 - 22:05

Lúc chứng minh được nhân tính chỉ cần xây dựng các hàm theo các tập nguyên tố $(p);(q)$. Có thể chọn $f(q_i)=\frac{1}{p_i}; f(p_i)=q_i$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh