Bài 15 : Xây dựng 1 hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:23
Bài 15 : Xây dựng 1 hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:23
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 15 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$
Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.
Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$
Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$
Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$
Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.
Vậy không có hàm nào thỏa đề
------------
Hai dòng cuối sai nhé ta cứ làm theo cách mà ntuan5 nói ở dưới
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 06:50
Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.
Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$
Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$
Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$
Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.
Vậy không có hàm nào thỏa đề
Bài này có nghiệm Idie9xx ơi.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh