Bài 17 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:28
Bài 17 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:28
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 17 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$
Cho $y=1$ có $f((f(x))^2)=x^3f(x)$ dễ thấy $f$ song ánh.
Thay $y=4$ bằng $(f(y))^2$ có $f((f(x)f(y))^2)=x^3f(x(f(y))^2)=(xy)^3f(xy)=f((f(xy))^2)\Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)$
Ta có $(f(f(x)))^2=x^3f(x)$
Sử dụng dãy $x,f(x),f(f(x)),...,f^{n-1}(x),f^n(x),...$ (với $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$)
Dễ thấy $f^n(x)=a^{(-1)^n}b^{(\frac{3}{2})^n}$
Do tập giá trị của $f$ là $\mathbb{Q^+}$ nên $n \rightarrow +\infty \Rightarrow b=1$
Mà $ab=x$ và $a^{-1}b^{\frac{3}{2}}=f(x) \Rightarrow b^{\frac{5}{2}}=xf(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thoả)
Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\frac{1}{x}$
-------------------
Hàm không liên tục nên không thể có màu đỏ được .
Ừ đã sửa lại ở trên rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 07:10
Cho $y=1$ có $f((f(x))^2)=x^3f(x)$ dễ thấy $f$ song ánh.
Thay $y=4$ bằng $(f(y))^2$ có $f((f(x)f(y))^2)=x^3f(x(f(y))^2)=(xy)^3f(xy)=f((f(xy))^2) \Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)$
Vậy $f$ nhân tính trên $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thử lại tìm được $a=-1$ (thỏa) và $a=\frac{3}{2}$ (không thỏa)
Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\frac{1}{x}$
Hàm không liên tục nên không thể có màu đỏ được .
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh