Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^2)-f(y^2)=q(x+y)-g(x-y)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 21:31

Bài toán 18 :Tìm $f,q,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2)-f(y^2)=q(x+y)-g(x-y)$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 22-05-2013 - 21:47

Bài toán 18 :Tìm $f,q,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2)-f(y^2)=q(x+y)-g(x-y)$

Cho $x=y$ có $0=q(x+y)-g(0) \Rightarrow q(x)=g(0)$

Thay $y$ bằng $-y$ có $f(x^2)-f(y^2)=g(0)-g(x+y) \Rightarrow g(x+y)=g(x-y)=c$ ( $c$ là hăng số )

$\Rightarrow q(x)=g(y)=c \Rightarrow f(x^2)-f(y^2)=0 \Rightarrow f(x^2)=f(y^2)=k$ ( $k$ là hằng số )

Vậy ta có các hàm thỏa đề $q(x)=g(y)=c$ và $f(x)=k$ với $x \geq 0$ còn $x<0$ thì $f(x)$ có giá trị tùy ý :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 22-05-2013 - 21:50

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 22:05

Cho $x=y$ có $0=q(x+y)-g(0) \Rightarrow q(x)=g(0)$

Thay $y$ bằng $-y$ có $f(x^2)-f(y^2)=g(0)-g(x+y) \Rightarrow g(x+y)=g(x-y)=c$ ( $c$ là hăng số )

$\Rightarrow q(x)=g(y)=c \Rightarrow f(x^2)-f(y^2)=0 \Rightarrow f(x^2)=f(y^2)=k$ ( $k$ là hằng số )

Vậy ta có các hàm thỏa đề $q(x)=g(y)=c$ và $f(x)=k$ với $x \geq 0$ còn $x<0$ thì $f(x)$ có giá trị tùy ý :))

 

Nếu $x<0$ thì $f(x)=h(x)$, bài giải thiếu mỗi chổ đó, còn phần còn lại ok.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh