Bài toán 18 :Tìm $f,q,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2)-f(y^2)=q(x+y)-g(x-y)$
#1
Đã gửi 22-05-2013 - 21:31
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 22-05-2013 - 21:47
Bài toán 18 :Tìm $f,q,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^2)-f(y^2)=q(x+y)-g(x-y)$
Cho $x=y$ có $0=q(x+y)-g(0) \Rightarrow q(x)=g(0)$
Thay $y$ bằng $-y$ có $f(x^2)-f(y^2)=g(0)-g(x+y) \Rightarrow g(x+y)=g(x-y)=c$ ( $c$ là hăng số )
$\Rightarrow q(x)=g(y)=c \Rightarrow f(x^2)-f(y^2)=0 \Rightarrow f(x^2)=f(y^2)=k$ ( $k$ là hằng số )
Vậy ta có các hàm thỏa đề $q(x)=g(y)=c$ và $f(x)=k$ với $x \geq 0$ còn $x<0$ thì $f(x)$ có giá trị tùy ý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 22-05-2013 - 21:50
- Ruka yêu thích
#3
Đã gửi 22-05-2013 - 22:05
Cho $x=y$ có $0=q(x+y)-g(0) \Rightarrow q(x)=g(0)$
Thay $y$ bằng $-y$ có $f(x^2)-f(y^2)=g(0)-g(x+y) \Rightarrow g(x+y)=g(x-y)=c$ ( $c$ là hăng số )
$\Rightarrow q(x)=g(y)=c \Rightarrow f(x^2)-f(y^2)=0 \Rightarrow f(x^2)=f(y^2)=k$ ( $k$ là hằng số )
Vậy ta có các hàm thỏa đề $q(x)=g(y)=c$ và $f(x)=k$ với $x \geq 0$ còn $x<0$ thì $f(x)$ có giá trị tùy ý
Nếu $x<0$ thì $f(x)=h(x)$, bài giải thiếu mỗi chổ đó, còn phần còn lại ok.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Đã gửi 07-03-2023 - 21:18
Nếu $x<0$ thì $f(x)=h(x)$, bài giải thiếu mỗi chổ đó, còn phần còn lại ok.
Ở trên bài bạn trên t không hề thấy đề cập đến PTH $h(x)$ vậy mà bạn lại nói thiếu, nghĩa là sao v?
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh