Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 23-05-2013 - 20:21

Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 23-05-2013 - 20:29

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 23-05-2013 - 20:48



Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.

Cho $P(x;y;z)$ có tính chất $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.

$P(0;0;0) \Rightarrow f(0)=0$

$P(x;y;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})=f(x+y+\frac{1}{4})$

$P(x+y;0;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x+y})=f(x+y+\frac{1}{4})$

$\Rightarrow f(\sqrt{x+y})=f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})$

Đặt $g(x)=f(\sqrt{x})$ có $g(x+y)=g(x)+g(y)$ (cộng tính)

Với $x>y$ có $g(x)=g(x-y)+g(y)>g(y)$ (đơn điệu)

$\Rightarrow g(x)=c \cdot x \Rightarrow f(x)=c \cdot x^2$ ( với hằng số $c\geq 0$ ) (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=c \cdot x^2$ :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 21:54

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh