Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 24-05-2013 - 15:41

Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 14:10

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 24-05-2013 - 16:49

Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$

$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$

$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$

$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 f(x)=0 \\
 f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 24-05-2013 - 16:52

Link

 


#3 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 24-05-2013 - 17:11

$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$

$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$

$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 f(x)=0 \\
 f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn

Đề bài cho là $R^+$ nhưng mà làm vậy vẫn được à bạn.


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 24-05-2013 - 18:08

$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$

$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$

$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 f(x)=0 \\
 f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn

 

Bài này bạn làm nhìn qua có vẻ đúng nhưng thật ra là thiếu .

 

Phần màu đỏ nếu bạn muốn thay như thế thì cần CM $f$ là 1 toàn ánh .

 

@vuminhhoang : Đề cho $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thì mới thay $y=x^2$ được. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-05-2013 - 18:11

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 24-05-2013 - 19:58

Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$

Thay $y$ bằng $x^2-y-f(x)$ có $f(x^2-y)=f(f(x)+y)+4f(x)(x^2-y-f(x))$

$\Rightarrow 4f(x)y=4f(x)(y-x^2+f(x)) \Rightarrow f(x)=x^2$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=x^2$ :))

 

$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$

$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$

$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
 f(x)=0 \\
 f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn

Hàm $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ nên $f(0)$ không có giá trị hay là không được dùng :)

 

@namcpnh : Ừ quên, $f(0)$ không tồn tại.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 12:22

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 25-05-2013 - 14:12

Do kiểm đề không kĩ nên đề lần này sai ( đổi từ $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thành $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ) . Chân thành xin lỗi các mem.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh