Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x+f(y))=f(x)f(y)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 24-05-2013 - 15:47

Bài 23 : Tìm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa : $f(x+f(y))=f(x)f(y)$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 24-05-2013 - 19:42

Bài 23 : Tìm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa : $f(x+f(y))=f(x)f(y)$

Thay $x$ bằng $y-f(y)$ có $f(y)=f(y-f(y))f(y) \Rightarrow f(y)=0$ hoặc $f(y-f(y))=1$

Với $f(y-f(y))=1$ thì thay $y$ bằng $f(y-f(y))$ có $f(x+f(y-f(y)))=f(x)f(y-f(y)) \Rightarrow f(x+1)=f(x)$

Bằng qui nạp chứng minh được $f(x+n)=f(x)$ hay $f(n)=f(0)$ với $n \in \mathbb{Z}$ mà $f(n-f(n))=1 \Rightarrow f(n-f(n))=f(n)=1$

Ta có $f(nf(y))=f((n-1)f(y))f(y)$ qui nạp chứng minh được $f(nf(x))=(f(x))^n$

Do $f(y) \in \mathbb{Q}$ nên tồn tại $n$ sao cho $nf(y) \in \mathbb{Z}$ hay $(f(y))^n=1$

Với $n$ lẻ thì $f(y)=1$ (thỏa) với $n$ chẵn thì $f(y)=1$ (thỏa) hoặc $f(y)=-1$ không thỏa khi cho $x \in \mathbb{Z}$

Vậy các hàm thỏa mãn đề là $f(x)=1$ và $f(x)=0$ :))


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 yeutoanmanhliet

yeutoanmanhliet

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 17-07-2016 - 23:03

sao ko chứng minh f(0)=0







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh