Bài 23 : Tìm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa : $f(x+f(y))=f(x)f(y)$
#1
Đã gửi 24-05-2013 - 15:47
- nhungvienkimcuong yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 24-05-2013 - 19:42
Bài 23 : Tìm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa : $f(x+f(y))=f(x)f(y)$
Thay $x$ bằng $y-f(y)$ có $f(y)=f(y-f(y))f(y) \Rightarrow f(y)=0$ hoặc $f(y-f(y))=1$
Với $f(y-f(y))=1$ thì thay $y$ bằng $f(y-f(y))$ có $f(x+f(y-f(y)))=f(x)f(y-f(y)) \Rightarrow f(x+1)=f(x)$
Bằng qui nạp chứng minh được $f(x+n)=f(x)$ hay $f(n)=f(0)$ với $n \in \mathbb{Z}$ mà $f(n-f(n))=1 \Rightarrow f(n-f(n))=f(n)=1$
Ta có $f(nf(y))=f((n-1)f(y))f(y)$ qui nạp chứng minh được $f(nf(x))=(f(x))^n$
Do $f(y) \in \mathbb{Q}$ nên tồn tại $n$ sao cho $nf(y) \in \mathbb{Z}$ hay $(f(y))^n=1$
Với $n$ lẻ thì $f(y)=1$ (thỏa) với $n$ chẵn thì $f(y)=1$ (thỏa) hoặc $f(y)=-1$ không thỏa khi cho $x \in \mathbb{Z}$
Vậy các hàm thỏa mãn đề là $f(x)=1$ và $f(x)=0$
- namcpnh, nhungvienkimcuong và yeutoanmanhliet thích
#3
Đã gửi 17-07-2016 - 23:03
sao ko chứng minh f(0)=0
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh