Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 24-05-2013 - 19:05

Bài 24 : Tìm hàm $f:[0;+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ đồng biến thỏa : $f(x)+\frac{1}{x}>0$ và $f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$

 

Bài giải :

 

Do $f$ đồng biến nên $f$ đơn ánh.
Ta có $f \left (f(x)+\frac{1}{x} \right )=\frac{1}{f(x)}$
Thay $x$ bằng $f(x)+\frac{1}{x}$ có $f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=1$
$\Rightarrow f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=f(x)\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$ (thỏa) hoặc $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$ (không thỏa do $f$ là hàm đồng biến)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 13:14

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 24-05-2013 - 20:38



Bài 24 : Tìm hàm $f:[0;+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ đồng biến thỏa : $f(x)+\frac{1}{x}>0$ và $f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$

Do $f$ đồng biến nên $f$ đơn ánh.

Ta có $f \left (f(x)+\frac{1}{x} \right )=\frac{1}{f(x)}$

Thay $x$ bằng $f(x)+\frac{1}{x}$ có $f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=1$

$\Rightarrow f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=f(x)\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$

$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$ (thỏa) hoặc $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$ (không thỏa do $f$ là hàm đồng biến)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$ :))

 

-------------

 

@namcpnh: Chuẩn không cần chỉnh  :D . Ah mà sao nghĩ dùng  >:)  rồi .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 13:14

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh