Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Bài 24 : Tìm hàm $f:[0;+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ đồng biến thỏa : $f(x)+\frac{1}{x}>0$ và $f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$

 

Bài giải :

 

Do $f$ đồng biến nên $f$ đơn ánh.
Ta có $f \left (f(x)+\frac{1}{x} \right )=\frac{1}{f(x)}$
Thay $x$ bằng $f(x)+\frac{1}{x}$ có $f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=1$
$\Rightarrow f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=f(x)\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$ (thỏa) hoặc $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$ (không thỏa do $f$ là hàm đồng biến)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 13:14

[Idie9xx]

Bài 24 : Tìm hàm $f:[0;+\infty ) \rightarrow \mathbb{R}$ đồng biến thỏa : $f(x)+\frac{1}{x}>0$ và $f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$

Do $f$ đồng biến nên $f$ đơn ánh.

Ta có $f \left (f(x)+\frac{1}{x} \right )=\frac{1}{f(x)}$

Thay $x$ bằng $f(x)+\frac{1}{x}$ có $f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=1$

$\Rightarrow f\left ( f\left ( f(x)+\frac{1}{x} \right )+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}} \right )=f(x)\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)+\dfrac{1}{x}}=x$

$\Rightarrow f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$ (thỏa) hoặc $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2x}$ (không thỏa do $f$ là hàm đồng biến)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2x}$

 

-------------

 

@namcpnh: Chuẩn không cần chỉnh   . Ah mà sao nghĩ dùng   rồi .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 13:14