Chủ đề này có 4 trả lời

[namcpnh]

Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

[Cao Xuân Huy]

Các bước giải:

• Chứng minh hàm $f$ không tăng.
• Giả sử $f(1)\ne 1$ thì kết hợp với $f$ không tăng dẫn đến $f$ hàm hằng (loại).
• Xét $f(1)=1$ thì bằng phản chứng ta được $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>1$ từ đó thay $y=1$ trong pt đầu suy ra $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>0$.

[Idie9xx]

Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$

$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$

 

Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.

 

Sai 1 số chỗ đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 26-05-2013 - 19:14

[namcpnh]

Cho $y=0$ có $f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

Cho $x=1,y=0$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

Thay $x$ bằng $f(x)$ cho $y=1$ có $f(f(f(x))+1)=xf(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$

Cho $y=1$ có $f(f(x)+1)=xf(x+1) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$

 

Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.

[namcpnh]

Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$

$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$

 

 

Sai 1 số chỗ đã sửa

 

Lâu ngày kiểm lại mới thấy bài này sai. Đề cho $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ nên không thế thay $x=0$ hoặc $y=0$ được .