Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 25-05-2013 - 13:07

Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 25-05-2013 - 14:55

Các bước giải:

  • Chứng minh hàm $f$ không tăng.
  • Giả sử $f(1)\ne 1$ thì kết hợp với $f$ không tăng dẫn đến $f$ hàm hằng (loại).
  • Xét $f(1)=1$ thì bằng phản chứng ta được $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>1$ từ đó thay $y=1$ trong pt đầu suy ra $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>0$.

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 25-05-2013 - 21:18

Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$

$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$ :)

 

Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.

 

Sai 1 số chỗ đã sửa :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 26-05-2013 - 19:14

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 26-05-2013 - 18:08

Cho $y=0$ có $f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

Cho $x=1,y=0$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

Thay $x$ bằng $f(x)$ cho $y=1$ có $f(f(f(x))+1)=xf(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$

Cho $y=1$ có $f(f(x)+1)=xf(x+1) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$ :)

 

Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 09-06-2013 - 10:34

Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$

$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.

$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$

$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$

$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$ :)

 

 

Sai 1 số chỗ đã sửa :))

 

Lâu ngày kiểm lại mới thấy bài này sai. Đề cho $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ nên không thế thay $x=0$ hoặc $y=0$ được .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh