Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$
#1
Đã gửi 25-05-2013 - 13:07
- thukilop yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 25-05-2013 - 14:55
Các bước giải:
- Chứng minh hàm $f$ không tăng.
- Giả sử $f(1)\ne 1$ thì kết hợp với $f$ không tăng dẫn đến $f$ hàm hằng (loại).
- Xét $f(1)=1$ thì bằng phản chứng ta được $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>1$ từ đó thay $y=1$ trong pt đầu suy ra $f(x)=\frac{1}{x},\forall x>0$.
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 25-05-2013 - 21:18
Bài 25 : Tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa : $f(f(x)+y)=xf(1+xy)$
Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$
$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.
$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$
$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$
$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$
Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.
Sai 1 số chỗ đã sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 26-05-2013 - 19:14
#4
Đã gửi 26-05-2013 - 18:08
Cho $y=0$ có $f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.
Cho $x=1,y=0$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$
Thay $x$ bằng $f(x)$ cho $y=1$ có $f(f(f(x))+1)=xf(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$
Cho $y=1$ có $f(f(x)+1)=xf(x+1) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$
Kết quả đúng, nhưng bài giải thì cần làm rõ phần màu đỏ.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#5
Đã gửi 09-06-2013 - 10:34
Cho $P(x;y):f(f(x)+y)=xf(1+xy)$
$P(x;0) \Rightarrow f(f(x))=xf(1)$ vậy $f$ song ánh.
$P(1;0) \Rightarrow f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1 \Rightarrow f(f(x))=x$
$P(f(x);1) \Rightarrow f(f(f(x))+1)=f(x)f(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(x)f(f(x)+1)$ $(1)$
$P(x;1) \Rightarrow f(f(x)+1)=xf(x+1)$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x}$
Sai 1 số chỗ đã sửa
Lâu ngày kiểm lại mới thấy bài này sai. Đề cho $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ nên không thế thay $x=0$ hoặc $y=0$ được .
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh