Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh tâm các đường tròn $(PA_{1}A_{2}),(PB_{1}B_{2}),(PC_{1}C_{2})$ thẳng hàng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 25-05-2013 - 16:28

Một bài toán khá hay của thầy giáo mình.Post lên cho mọi người tham khảo :lol:

 

Problem:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$P$ và $Q$ là hai điểm bất kì thỏa mãn $P,O,Q$ thẳng hàng. Giả sử $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt là các giao điểm của $AQ,BQ,CQ$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp các tam giác $$PA_{1}A_{2},PB_{1}B_{2},PC_{1}C_{2}$$

thẳng hàng.

                                                                                                  Tác giả:Trần Quang Hùng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-07-2014 - 16:22


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-07-2014 - 00:03

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 16/07 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 15-07-2014 - 00:03

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 16-07-2014 - 02:08

Một bài toán khá hay của thầy giáo mình.Post lên cho mọi người tham khảo :lol:

 

Problem:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.$P$ và $Q$ là hai điểm bất kì thỏa mãn $P,O,Q$ thẳng hàng. Giả sử $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt là các giao điểm của $AQ,BQ,CQ$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp các tam giác $$PA_{1}A_{2},PB_{1}B_{2},PC_{1}C_{2}$$

thẳng hàng.

                                                                                                  Tác giả:Trần Quang Hùng

Mình trình bày lời giải bằng cách sử dụng số phức. Lời giải trông rất  phức tạp (vì dùng số phức mà)  nhưng có thể dùng trong nhiều bài toán hình học mà những "clever trick" không dễ gì tìm được. Mình cũng rất muốn được chiêm ngưỡng một lời giải đẹp mắt, nhưng vẫn chưa thấy. Bạn nào không thích lời giải phức tạp thì xin thứ lỗi nhé. 

 

Ta xem $O$ là gốc trong mặt phẳng phức, $P,Q$ nằm trên trục hoành $P=p, Q=q \in \mathbb{R}$. Các đỉnh của tam giác $ABC$ nằm trên đường tròn đơn vị và được biểu diễn bởi $A=a, B=b, C=c\in \mathbb{C}$.

 

Ta cũng có hai sự kiện sau:

 

1. $X,Y,Z$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\frac{x-y}{x-z}\in \mathbb{R}$

2. $XY$ vuông góc với $YZ$ khi và chỉ khi $\frac{x-y}{z-y}\in i\mathbb{R}$. 

 

Toạ độ của $A_2, B_2,C_2$ là $a_2,b_2,c_2\in \mathbb{C}$ thoả mãn:

$$a_2=\frac{q-a}{1-qa}, b_2=\frac{q-b}{1-qb}, c_2=\frac{q-c}{1-qc}.  (1)$$

 

 

Gọi giao điểm của đường tròn $PA_1A_2, PB_1B_2, PC_1C_2$ với $BC, CA, AB$ là $A_3,B_3,C_3$ và đặt

$$r= \frac{a_3-b}{a_3-c}\in \mathbb{R}, s= \frac{b_3-c}{b_3-a}\in \mathbb{R}, t= \frac{c_3-a}{c_3-b}\in \mathbb{R}.$$

Ta cần chứng minh $rst=1$. Ta có thể giả sử cả 3 số thực $r,s,t$ đều khác $0, \infty$. Để ý rằng $A_3A_2$ vuông góc với $PA_2$. 

 

Từ đó ta tính được 

$$r=\frac{Re\left[a_2p-1+\bar{a_2}b-pb\right]}{Re\left[a_2p-1+\bar{a_2}c-pc\right]}$$

 

$$s=\frac{Re\left[b_2p-1+\bar{b_2}c-pc\right]}{Re\left[b_2p-1+\bar{b_2}c-pc\right]}$$

 

$$t=\frac{Re\left[c_2p-1+\bar{c_2}a-pa\right]}{Re\left[c_2p-1+\bar{c_2}b-pb\right]}$$

 

Ta thay $a_2,b_2,c_2$ theo (1) thì được

 

$$r=\frac{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(a+b) +(pq-1)Re (\bar{a}b) + q(p-q) Re(ab)}{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(a+c) +(pq-1)Re (\bar{a}c) + q(p-q) Re(ac)} $$

 

$$s=\frac{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(b+c) +(pq-1)Re (\bar{b}c) + q(p-q) Re(bc)}{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(a+b) +(pq-1)Re (\bar{a}b) + q(p-q) Re(ab)} $$

 

$$t=\frac{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(a+c) +(pq-1)Re (\bar{a}c) + q(p-q) Re(ac)}{2pq-q^2-1+(2q-p-q^2p)Re(b+c) +(pq-1)Re (\bar{b}c) + q(p-q) Re(bc)} $$

 

Ở đây ta lưu ý rằng $Re(\bar{a}b)=Re(\bar{b}a)$ và $Re(a)=Re(\bar{a})$. Từ đó ta suy ra $rst=1$. Tức là 3 điểm $A_3,B_3,C_3$ thẳng hàng. 

 

Comments: Khi mà $q=1$ hoặc $-1$ hoặc các số $r,s,t$ bằng $0$ hoặc $\infty$, ta làm tương tự (dễ hơn nhiều).  Khi đó có một vài điểm trùng nhau. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 16-07-2014 - 03:04


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1596 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy category

Đã gửi 20-07-2014 - 11:24

:icon6: Hai lời giải trên mathlinks trong đó có 1 bác VN ta http://www.artofprob...p?f=47&t=325959


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 20-07-2014 - 11:25

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh