PQT
Bài 4. Cho một lục giác đều có cạnh $1$. Lấy $m$ điểm nằm trong lục giác sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Lục giác được chia thành các tam giác sao cho trong $m$ điểm đã cho và các đỉnh lục giác là đỉnh của các tam giác. Các tam giác đó không có điểm trong chung. Chứng minh rằng không có tam giác nào có diện tích không lớn hơn $\frac{3 \sqrt3 }{4(m+2)}$.
(Macedonian JBMO TST 2013)
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Trung sĩ
Dễ chứng minh hình lục giác đó có diện tích là $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ta chứng minh với hình lục giác và $m$ điểm trong nó thì tạo được $2(m+2)$ tam giác thỏa mãn đề bài bằng quy nạp.
Nếu có $1$ điểm bên trong thì có $6=2.(1+2)$ tam giác được tạo thành
Nếu có $2$ điểm bên trong thì có $8=2.(2+2)$ tam giác được tạo thành
Giả sử gia thiết đúng đến $k$ điểm, ta CM nó cũng đúng đến $k+1$ điểm
Với $k$ điểm thì tạo được $2(k+2)$ tam giác thỏa mãn đề bài.
Thêm $1$ điểm nữa thì do không có $3$ điểm nào thẳng hàng nên điểm đó nhất định nằm trong 1 trong số các tam giác đã tạo thành.
=> Số tam giác trở thành $2(k+2)+2=2(k+1+1)$.
Do đó ta có đpcm.
Vì vậy hiển nhiên có 1 tam giác diện tích không vượt quá $\frac{3\sqrt{3}}{4(m+2)}$
420 Blaze It Faggot
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
