Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm tự nhiên với $p,r$ nguyên tố: $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$.

jbmo tst 2013

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 5. Cho $p,r$ là số nguyên tố và $q$ là số tự nhiên. Giải phương trình $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$.

 

(Macedonian JBMO TST 2013)


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
chrome98

chrome98

    Mãi Mãi Việt Nam

  • Thành viên
  • 258 Bài viết

Giải phương trình nghiệm tự nhiên với $p,r$ nguyên tố : $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$

 

Pt tương đương với

$(p+q)^2+2r(p+q)=2(p^2+q^2)\Leftrightarrow 2r(p+q)=(p-q)^2\Leftrightarrow 2r=\dfrac{(q-p)^2}{p+q}=p+q-\dfrac{4pq}{p+q}$

TH1: $\gcd(p,q)=1$, suy ra $\gcd (p,p+q)=\gcd (q,p+q)=1$. Khi đó điều kiện cần để $r\in \mathbb{Z}$ là $p+q|4pq\Rightarrow p+q|4\Rightarrow p+q\in \{2,4\} (p+q\ge 2)\Rightarrow (p,q)=(2,0),(3,1)$ tương ứng đều không cho $r=1, \dfrac{1}{2}$, loại

TH2: $p|q$, $q=0$ thì suy ra $p=2$, $r=1$, loại. Đặt $q=pt, t\in\mathbb{Z^+}$, ta suy ra $2r=\dfrac{(t-1)^2}{t+1}=t+1-\dfrac{4t}{t+1}$, suy ra $t+1|4$ do $(t,t+1)=1$, suy ra $t\in \{1,3\}$, suy ra tương ứng $r=0, \dfrac{1}{2}$. đều loại.

KL : phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 27-05-2013 - 17:50






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: jbmo tst, 2013

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh