Bài 5. Cho $p,r$ là số nguyên tố và $q$ là số tự nhiên. Giải phương trình $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$.
(Macedonian JBMO TST 2013)
Bài 5. Cho $p,r$ là số nguyên tố và $q$ là số tự nhiên. Giải phương trình $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$.
(Macedonian JBMO TST 2013)
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Giải phương trình nghiệm tự nhiên với $p,r$ nguyên tố : $(p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2$
Pt tương đương với
$(p+q)^2+2r(p+q)=2(p^2+q^2)\Leftrightarrow 2r(p+q)=(p-q)^2\Leftrightarrow 2r=\dfrac{(q-p)^2}{p+q}=p+q-\dfrac{4pq}{p+q}$
TH1: $\gcd(p,q)=1$, suy ra $\gcd (p,p+q)=\gcd (q,p+q)=1$. Khi đó điều kiện cần để $r\in \mathbb{Z}$ là $p+q|4pq\Rightarrow p+q|4\Rightarrow p+q\in \{2,4\} (p+q\ge 2)\Rightarrow (p,q)=(2,0),(3,1)$ tương ứng đều không cho $r=1, \dfrac{1}{2}$, loại
TH2: $p|q$, $q=0$ thì suy ra $p=2$, $r=1$, loại. Đặt $q=pt, t\in\mathbb{Z^+}$, ta suy ra $2r=\dfrac{(t-1)^2}{t+1}=t+1-\dfrac{4t}{t+1}$, suy ra $t+1|4$ do $(t,t+1)=1$, suy ra $t\in \{1,3\}$, suy ra tương ứng $r=0, \dfrac{1}{2}$. đều loại.
KL : phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 27-05-2013 - 17:50
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh