Đến nội dung


Hình ảnh

$(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 26-05-2013 - 20:19

Bài toán 28 : Tìm đa thức có hệ số thực thỏa : 

 

i) $degP(x)\geq 1$

 

ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$

 

iii) $P(1)=6$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-05-2013 - 10:22

Bài toán 28 : Tìm đa thức có hệ số thực thỏa : 

 

i) $degP(x)\geq 1$

 

ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$

 

iii) $P(1)=6$

Đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\Rightarrow P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1$$

$$P''(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2$$

Thay vào $ii)$ ta có

$$\begin{matrix}
(x+1)(x^2-3)[n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2]-\\
(x^2+x)[na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1]+12[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0]=0 \;\forall x
\end{matrix}$$

 

Hay $[n(n-1)-n]a_nx^{n+1}+Q(x)=0;\forall x$ với $\deg Q(x)\le n$

 

$n(n-1)-n=0\Leftrightarrow n=2\Leftrightarrow  P(x)=ax^2+bx+c$

 

$$\Rightarrow (x+1)(x^2-3).2a-(x^2+x)(2ax+b)+3(ax^2+bx+c)=0 \forall x$$

 

 

$\Leftrightarrow x^2(3a-b)+2x(b-3a)+3(c-2a)=0$

$\Leftrightarrow 3a-b=c-2a=b-3a=0 \Rightarrow b=3a;c=2a$

$P(x)=ax^2+bx+c=ax^2+3ax+2a=a(x^2+3x+2)$

Mà $P(1)=6$ nên $6=6a\Rightarrow a=1$

Vậy $P(x)=x^2+3x+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-11-2015 - 14:11

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh