Bài toán 28 : Tìm đa thức có hệ số thực thỏa :
i) $degP(x)\geq 1$
ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$
iii) $P(1)=6$
Bài toán 28 : Tìm đa thức có hệ số thực thỏa :
i) $degP(x)\geq 1$
ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$
iii) $P(1)=6$
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài toán 28 : Tìm đa thức có hệ số thực thỏa :
i) $degP(x)\geq 1$
ii) $(x+1)(x^2-3)P^{''}(x)-(x^2+x)P'(x)+3P(x)=0$
iii) $P(1)=6$
Đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\Rightarrow P'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1$$
$$P''(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2$$
Thay vào $ii)$ ta có
$$\begin{matrix}
(x+1)(x^2-3)[n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+...+2a_2]-\\
(x^2+x)[na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+a_1]+12[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0]=0 \;\forall x
\end{matrix}$$
Hay $[n(n-1)-n]a_nx^{n+1}+Q(x)=0;\forall x$ với $\deg Q(x)\le n$
$n(n-1)-n=0\Leftrightarrow n=2\Leftrightarrow P(x)=ax^2+bx+c$
$$\Rightarrow (x+1)(x^2-3).2a-(x^2+x)(2ax+b)+3(ax^2+bx+c)=0 \forall x$$
$\Leftrightarrow x^2(3a-b)+2x(b-3a)+3(c-2a)=0$
$\Leftrightarrow 3a-b=c-2a=b-3a=0 \Rightarrow b=3a;c=2a$
$P(x)=ax^2+bx+c=ax^2+3ax+2a=a(x^2+3x+2)$
Mà $P(1)=6$ nên $6=6a\Rightarrow a=1$
Vậy $P(x)=x^2+3x+1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-11-2015 - 14:11
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh