Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Bài toán 29 : Cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

i) $f(m+n+mn)=f(m)+f(n)+f(m)f(n)$

 

ii) $f(f(n))=n$

 

Hãy xác định giá trị nhỏ nhất có thể của $f(2003)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 27-05-2013 - 12:35

[Dialga Palkia]

Bài toán 29 : Cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

i) $f(m+n+mn)=f(m)+f(n)+f(m)f(n)$

 

ii) $f(f(n))=n$

 

Hãy xác định giá trị nhỏ nhất có thể của $f(2003)$.

Từ $ii)$ ta thấy $f$ song ánh.

Cho $m=n=0$ có $f(0)=2f(0)+(f(0))^2\Rightarrow f(0)=0$

Viết lại $i)$ thành $f((m+1)(n+1)-1)=(f(m)+1)(f(n)+1)-1$

Chứng minh theo qui nạp khi thay $m$ bằng $mt+m+t$ với $t \in \mathbb{N}$ ta có được:

$$f\left (\left (\prod_{k=1}^{n}(k+1) \right )-1\right )=\left (\prod_{k=1}^{n}(f(k)+1)\right )-1$$

Ta xây dựng một hàm $f$ thỏa mãn:

Cho tập $A$ là tập hợp các số tự nhiên $a_1$ sao cho $a_1+1$ là số nguyên tố.

Ta thấy $\forall n \in \mathbb{N}$ đều viết được dưới dạng $\left (\prod_{i=1}^{m}(a_1+1)\right )-1$

Nên $f(n)=\left (\prod_{i=1}^{m}(f(a_i)+1) \right )-1$

Khi $f(n)=a_k\Rightarrow \left (\prod_{i=1}^{m}(f(a_i)+1) \right )=a_k+1$

Mà do $a_k+1$ là số nguyên tố nên chỉ có $f(a_t)+1=a_k+1\Rightarrow f(a_t)=a_k$ với $1\leq t\leq m, t \in \mathbb{N}$

Vậy $f(n) \in A \Rightarrow n \in A$ và theo $ii)$ thì $f(f(n))=n$ nên $n\in A \Leftrightarrow f(n) \in A$

Từ đó sẽ xây dựng được hàm thỏa mãn theo giá trị của $f(a_i)$.

Ta có $2003=2\times 2\times 3\times 167-1$ nên $f(2003)=(f(1)+1)^2(f(2)+1)(f(166)+1)-1$

Vậy cho $f(1)=1,f(2)=2$ và $f(166)=4$ thì ta có được $f(2003)$ nhỏ nhất bằng $59$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dialga Palkia: 27-05-2013 - 20:37