Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$
MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé :)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 28-05-2013 - 21:13
Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$
MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé :)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 28-05-2013 - 21:13
Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$
Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq 3$
Áp dụng BĐT Schawrz: $P\geq \frac{9}{27-5(a+b+c)}\geq \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$
Vậy MIN(P)=3/4 khi a=b=c=1
(BÀI NÀY EM BỊ NGƯỢC DẤU! NHỜ MOD XÓA GIÚP)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 28-05-2013 - 15:42
Ta có BĐT: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq 3$
Áp dụng BĐT Schawrz: $P\geq \frac{9}{27-5(a+b+c)}\geq \frac{9}{12}=\frac{3}{4}$
Vậy MIN(P)=3/4 khi a=b=c=1
(BÀI NÀY EM BỊ NGƯỢC DẤU! NHỜ MOD XÓA GIÚP)
Bài này tôi cũng gặp trở ngại " ngược dấu " như trên !
Bài không dễ !
Các bạn giúp thêm ý kiến .
Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$
Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$
Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c .
Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$
Ta chứng minh bất đẳng thức : $\frac{1}{9-5a} \geq \frac{5a^2+3}{32}$ $\forall 0<a<\sqrt{3}$
Thật vậy chứng minh bằng biến đổi tương đương ta thấy bất đẳng thức trên tương đương với : $(25a+5)(a-1)^2 \geq 0$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=1$
Lập các bất đẳng thức tương tự với b,c .
Ta có $P_{min} = \frac{3}{4}$ khi $a=b=c=1$
Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.
ONG NGỰA 97.
Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.
Cái này gọi là phương pháp tiếp tuyến đấy bạn . google search nha .
Cảm ơn bạn nha.
MÌnh up lên cho các bạn tham khảo.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 28-05-2013 - 20:18
ONG NGỰA 97.
Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$P = \frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$
Cách khác:
Ta viết lại $P$ như sau:
$$P=\frac{1}{9-5a}+\frac{1}{9-5b}+\frac{1}{9-5c}$$
$$=\frac{243-90\left ( a+b+c \right )+25\left ( ab+bc+ca \right )}{729-405\left ( a+b+c \right )+225\left ( ab+bc+ca \right )-125abc}$$
Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$
$\Rightarrow p^2-2q=3$ và $p\le 3$
Khi đó $P$ trở thành:
$$P=\frac{243-90p+25q}{729-405p+225q-125r}$$
$$=\frac{243-90p+25\frac{p^2-3}{2}}{729-405p+225\frac{p^2-3}{2}-125r}$$
Ta cần chứng minh
$$P\ge \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow 4\left ( 243-90p+25\frac{p^2-3}{2} \right )-3\left ( 729-405p+225\frac{p^2-3}{2}-125r \right )\ge 0$$
$$\Leftrightarrow-\frac{575}{2}p^2+855p-\frac{705}{2}+375r\geq 0(1)$$
Theo bất đẳng thức schur, ta có:
$$r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{p(p^2-6)}{9}$$
Khi đó ta có:
$$(1)\Leftrightarrow \frac{125}{3}p^3-\frac{575}{2}p^2+605p-\frac{705}{2}\geq 0(2)$$
Đặt:$VT(2)=f(p)$, $0<p\leq 3$
Dễ dàng thấy: $f'(p)<0$ với $p\in\left ( 0;3 \right ]$
$\Rightarrow$ Hàm $f$ nghịch biến trên $(0;3]$
Do đó:
$f\left ( p \right )\geq f\left ( 3 \right )=0$
Từ đó ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow p=3 \Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 29-05-2013 - 07:29
-----------------------------------------------------
Làm sao nghĩ ra BĐT như vậy hả bạn.
PP. Ta có thể sử dụng tham số để đưa ra BĐT như thế: Giả sử tồn tại $x,y$ để $\frac{1}{9-5a} \ge xa^2+y \qquad (1)$.
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=1$, khi đó thay vào $(1)$ thì ta được $x+y= \frac 14 \Leftrightarrow y= \frac 14 -x$.
Thay $y$ vào $(1)$ ta được
$$\begin{aligned} \frac{1}{9-5a} \ge xa^2+ \frac 14-x & \Leftrightarrow 1-(9-5a) \left( xa^2+ \frac 14-x \right) \ge 0 \\ & \Leftrightarrow 1 +5xa^3- 9xa^2 + \left( \frac 54-5x \right) a +9x - \frac 94 \ge 0 \\ & \Leftrightarrow (a-1) \left( 5xa^2-4xa-9x+ \frac 54 \right) \ge 0 \end{aligned}$$
Vì dấu bằng xảy ra khi $a=1$ nên BĐT $(1)$ sau khi biến đổi tương đương phải có nhân tử $(a-1)^2$.
Ta suy ra $5xa^2-4xa-9x+ \frac 54$ phải có nhân tử $a-1$.
Do đó thì $5x-4x-9x+ \frac 54 =0 \Leftrightarrow x= \frac{5}{32} \Rightarrow y= \frac{3}{32}$.
Như vậy $\frac{1}{9-5a} \ge \frac{5a^2+3}{32}$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh